Cho biết \(\tan \alpha = 2\). Giá trị của \(P = \frac{{2\sin \alpha - 2\cos \alpha }}{{2\cos \alpha + 3\sin \alpha }}\) bằng bao nhiêu?

Gọi \(x\) là số bàn và \(y\) là số ghế anh An đóng được trong một tuần \(\left( {x;y\,\, \ge 0} \right)\).

Số giờ đề đóng \(x\) chiếc bàn và \(y\) chiếc ghế là: \(6x + 3y\) (giờ).

Mỗi tuần anh làm việc không quá \(60\) giờ nên ta có bất phương trình: \(6x + 3y \le 60\) (1).

Vì số ghế nhiều hơn số bàn ít nhất \(2\) lần nên ta có: \(y \ge 2x\)(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ bất phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\6x + 3y \le 60\\y \ge 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\2x + y \le 20\\ - 2x + y \ge 0\end{array} \right.\)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tam giác \(OAB\) với \(O\left( {0;\,\,0} \right),\,A\left( {5;\,\,10} \right),\,\,B\left( {0;20} \right)\).

Số tiền lãi thu được: \(F\left( {x;\,\,y} \right) = 150x + 100y\) (nghìn đồng).

Ta có:

Tại \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) có \(F\left( {0;\,\,0} \right) = 150.0 + 100.0 = 0\);

Tại \(A\left( {5;\,\,10} \right)\) có \(F\left( {5;\,\,10} \right) = 150.5 + 100.10 = 1\,\,750\);

Tại \(B\left( {0;20} \right)\) có \(F\left( {0;\,\,20} \right) = 150.0 + 100.20 = 2\,\,000\).

Vậy một tuần anh An phải đóng được \(0\) chiếc bàn và \(20\)chiếc ghế để tiền lãi thu được là lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Ta có hình vẽ:

Quãng đường di chuyển của tàu từ \(A\) đến vị trí \(B\) (động cơ tàu bị hỏng) sau \(1,5\) giờ với vận tốc \(60km/h\) là: \(60\,.\,1,5\, = \,90\,\,\left( {km} \right)\).

Quãng đường di chuyển của tàu từ \(B\) đến vị trí \(C\) (nơi neo đậu) sau \(3\) giờ với vận tốc \(6\,\,km/h\) là: \(6\,.\,3\, = \,18\,\,\left( {km} \right)\).

Ta có: \(\widehat {ABC} = 180^\circ  - 60^\circ  = 120^\circ \).

Xét tam giác \(ABC\), có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.{\rm{cos}}\widehat {ABC}\) (định lí cosin)

\( = {90^2} + {18^2} - 2.90.18.{\rm{cos120}}^\circ \)

\( = 10\,\,044\)

\( \Leftrightarrow AC = 18\sqrt {31}  \approx 100\,\,\left( {km} \right)\).

Vậy khoảng cách từ cảng \(A\) tới đảo nơi tàu neo đậu là khoảng \(100\,\,km\).