Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{1 + {x^2}}} - 1}}{{{x^2}}} = \frac{a}{b}\) (\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản \(a \in \mathbb{Z},b \in {\mathbb{N}^*}\)). Tính giá trị của biểu thức \(S = {a^2} + b.\)

Cho hai số thực \(a,b\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{a{x^2} + bx - 2}}{{x - 2}} = 5\). Tính giá trị biểu thức \(S = a + 2b\).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{9 - {x^2}}}{{x - 3}}\;\;{\rm{khi}}\;x < 3\\1 - x\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x \ge 3\end{array} \right.\). Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = a,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = b\). Tính \({a^2} + {b^2}\).

Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, 4, …n,… trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. Giả sử quy trình tô màu của chuột Mickey có thể tiến ra vô hạn (như hình vẽ dưới đây). Tính tổng diện tích mà chuột Mickey phải tô màu.

Xét tính liên tục của hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - \sqrt {2x - 3} }}{{2 - x}}\;\;{\rm{khi}}\;x \ne 2\\1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x = 2\end{array} \right.\) tại điểm \({x_0} = 2\).

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2{n^2} - 4n + 7}}{{8{n^2} + 3n + 10}}\), \({v_n} = \frac{{\sqrt {4{n^2} + 5} }}{{8n}}\).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}\;{\rm{khi}}\;x < 2\\{x^2} - x - 1\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x \ge 2\end{array} \right.\).

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 1\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = 1\).

c) Hàm số \(f\left( x \right)\) gián đoạn tại điểm \(x = 2\).

d) Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).