(1 điểm) Để đo chiều cao của một tòa nhà, bác Hương lấy hai điểm \(A\) và \(D\) trên mặt đất có khoảng cách \(AD = 10\,\,{\rm{m}}\) cùng thẳng hàng với chân \(B\) của tòa nhà để đặt hai giác kế. Chân của giác kế có chiều cao 1,2 m. Gọi \(C\) là đỉnh của tòa nhà và hai điểm \({A_1},\,\,{D_1}\) là đỉnh của hai giác kế cùng thẳng hàng với điểm \({B_1}\) thuộc chiều cao \(BC\) của tòa nhà. Bác đo được các góc \(\widehat {C{D_1}{B_1}} = 35^\circ ,\,\,\widehat {C{A_1}B} = 40^\circ \).

Hỏi chiều cao của tòa nhà là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Do \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\) nên ta có:

\[\overrightarrow {MH} \cdot \overrightarrow {MA} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {CH} } \right) \cdot \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CA} } \right)\] \[ = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CH} \cdot \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CH} \cdot \overrightarrow {CA} } \right)\]

Vì \(H\) là trực tâm của \[\Delta ABC,\] nên \[BH \bot CA{\rm{ }},{\rm{ }}CH \bot BA\] \[ \Rightarrow \overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {CA} = 0,{\rm{ }}\overrightarrow {CH} \cdot \overrightarrow {BA} = 0\].

Do đó, \[\overrightarrow {MH} \cdot \overrightarrow {MA} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CH} \cdot \overrightarrow {CA} } \right)\]

\[ = \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {BH} \cdot \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right) + \overrightarrow {CH} \cdot \left( {\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right)} \right] = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CH} \cdot \overrightarrow {BC} } \right)\]

\( = \frac{1}{4} \cdot \overrightarrow {BC} \cdot \left( {\overrightarrow {BH} - \overrightarrow {CH} } \right) = \frac{1}{4} \cdot \overrightarrow {BC} \cdot \left( {\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HC} } \right) = \frac{1}{4} \cdot \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BC} = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BC} ^2} = \frac{1}{4}B{C^2}\).

Vậy \[\overrightarrow {MH} \cdot \overrightarrow {MA} = \frac{1}{4}B{C^2}\].

Để \(A \cap B \ne \emptyset \) thì điều kiện là \(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 < \frac{{m + 3}}{2}\\\left[ \begin{array}{l}m - 1 < - 3\\\frac{{m + 3}}{2} \ge 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\\left[ \begin{array}{l}m < - 2\\m \ge 3\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;\,\, - 2} \right) \cup \left[ {3;\,\,5} \right)\).

Vì \(m\) nguyên dương nên \(m \in \left\{ {3;\,\,4} \right\}\).