Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm \(O.\) Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,CD.\)

(a) Chứng minh \(\left( {OMN} \right){\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)

(b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(SD,\,\,J\) là một điểm trên \(\left( {ABCD} \right)\) và cách đều \(AB,\,\,CD.\) Chứng minh \(IJ{\rm{//}}\left( {SAB} \right).\)

Đáp án đúng là: A

Vì \(N\) là trung điểm của \(AD\) nên \(NA = ND = \frac{{AD}}{2} = BC.\)

Xét tứ giác \(BCDN\) có: \(ND = BC\) và \(ND{\rm{//}}BC\) (do \(AD{\rm{//}}BC\)).

Suy ra \(BCDN\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow NB{\rm{//}}CD\) mà \(CD \subset \left( {SCD} \right)\) nên \(NB{\rm{//}}\left( {SCD} \right).\)

Xét tam giác \(SAD\) có: \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(AD.\)

Suy ra \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAD.\)

\( \Rightarrow MN{\rm{//}}SD\) mà \(SD \subset \left( {SCD} \right)\) nên \(MN{\rm{//}}\left( {SCD} \right).\)

Ta có: \(NB{\rm{//}}\left( {SCD} \right);\,\,MN{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\) và \(NB \cap MN = N\) trong \(\left( {BMN} \right).\)

\( \Rightarrow \left( {BMN} \right){\rm{//}}\left( {SCD} \right).\)

Đáp án đúng là: A

Trong \(\left( {ABC} \right)\): qua \(H\) kẻ đường thẳng \(d\) song song với \(AB\) và cắt \(BC,\,\,AC\) lần lượt tại \(M,\,\,N.\)

Trong \(\left( {ACD} \right)\): từ \(N\) kẻ \(NP\) song song với \(CD\,\,\left( {P \in CD} \right).\)

Trong \(\left( {ABD} \right)\): từ \(P\) kẻ \(PQ\) song song với \(AB\,\,\left( {Q \in BD} \right).\)

Ta có \(MN{\rm{//}}PQ\) (do cùng song song với \(AB\)) nên \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) đồng phẳng.

Ta có: \(AB{\rm{//}}MN;\,\,MN \subset \left( {MNPQ} \right) \Rightarrow AB{\rm{//}}\left( {MNPQ} \right);\)

\({\rm{CD//}}NP;\,\,NP \subset \left( {MNPQ} \right) \Rightarrow CD{\rm{//}}\left( {MNPQ} \right);\)

Hơn nữa \(H \in MN\) mà \(MN \subset \left( {MNPQ} \right)\) nên \(H \in \left( {MNPQ} \right).\)

Từ các kết quả trên ta có: \(\left( \alpha \right) \equiv \left( {MNPQ} \right).\)

Dễ dàng có được:

\(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN;\)

\(\left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right) = NP;\)

\(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right) = PQ;\)

\(\left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right) = QM.\)

Suy ra thiết diện của \(\left( \alpha \right)\) với tứ diện \(ABCD\) là \(MNPQ.\)

Xét ba mặt phẳng \(\left( {ACD} \right),\,\,\left( {BCD} \right),\,\,\left( {MNPQ} \right)\) có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ACD} \right) \cap \,\left( {BCD} \right) = CD\\\left( {ACD} \right) \cap \left( {MNPQ} \right) = NP\\\left( {BCD} \right) \cap \left( {MNPQ} \right) = QM\end{array} \right.\) và \(CD{\rm{//}}NP\) nên \(CD{\rm{//}}NP{\rm{//}}QM.\)

Xét tứ giác \(MNPQ\) có: \(MN{\rm{//}}PQ\) và \(NP{\rm{//}}QM\) nên \(MNPQ\) là hình bình hành.