Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm \(O.\) Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,CD.\)

(a) Chứng minh \(\left( {OMN} \right){\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)

(b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(SD,\,\,J\) là một điểm trên \(\left( {ABCD} \right)\) và cách đều \(AB,\,\,CD.\) Chứng minh \(IJ{\rm{//}}\left( {SAB} \right).\)

Đáp án đúng là: A

Vì \(N\) là trung điểm của \(AD\) nên \(NA = ND = \frac{{AD}}{2} = BC.\)

Xét tứ giác \(BCDN\) có: \(ND = BC\) và \(ND{\rm{//}}BC\) (do \(AD{\rm{//}}BC\)).

Suy ra \(BCDN\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow NB{\rm{//}}CD\) mà \(CD \subset \left( {SCD} \right)\) nên \(NB{\rm{//}}\left( {SCD} \right).\)

Xét tam giác \(SAD\) có: \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(AD.\)

Suy ra \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAD.\)

\( \Rightarrow MN{\rm{//}}SD\) mà \(SD \subset \left( {SCD} \right)\) nên \(MN{\rm{//}}\left( {SCD} \right).\)

Ta có: \(NB{\rm{//}}\left( {SCD} \right);\,\,MN{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\) và \(NB \cap MN = N\) trong \(\left( {BMN} \right).\)

\( \Rightarrow \left( {BMN} \right){\rm{//}}\left( {SCD} \right).\)

Theo quy luật trang trí một hình vuông trên thì ta có các tam giác được tô màu sẽ là tam giác vuông cân.

Gọi \({u_n}\) là diện tích của hai tam giác được tô màu sau lần vẽ thứ \(n\), với \(n \in {\mathbb{N}^*}.\)

Độ dài cạnh góc vuông của hai tam giác vuông cân được tô màu theo lần vẽ đầu tiên là \(\frac{4}{2} = 2\,\,\left( {\rm{m}} \right).\) Khi đó diện tích của hai tam giác được tô màu sau lần vẽ đầu tiên là

\({u_1} = 2\left( {\frac{1}{2}.2.2} \right) = 4\) \(\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\)

Độ dài cạnh góc vuông của hai tam giác vuông cân được tô màu theo lần vẽ thứ hai là \(\frac{1}{2}.\sqrt {{2^2} + {2^2}} \, = \sqrt 2 \left( {\rm{m}} \right).\) Khi đó diện tích của hai tam giác được tô màu sau lần vẽ thứ hai là

\({u_2} = 2\left( {\frac{1}{2}.\sqrt 2 .\sqrt 2 } \right) = 4.\frac{1}{2}\) \(\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\)

Độ dài cạnh góc vuông của hai tam giác vuông cân được tô màu theo lần vẽ thứ ba là\(\frac{1}{2}.\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = 1\,\,\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\) Khi đó diện tích của hai tam giác được tô màu sau lần vẽ thứ ba là

\({u_3} = 2\left( {\frac{1}{2}.1.1} \right) = 4.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\) \(\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\)

Khi đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = 4\) và công bội \(q = \frac{1}{2}.\)

Ta có công thức số hạng tổng quát \({u_n} = 4.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\) \(\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\)

Tổng diện tích của các tam giác được tô màu sau lần vẽ thứ 10 là:

\({S_{10}} = \frac{{4\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{10}}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{1\,\,023}}{{128}}\) \(\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\)

Vậy số tiền nước sơn là \(\frac{{1\,\,023}}{{128}}.80\,\,000 = 639\,\,375\) đồng.