Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Hình chiếu song song của điểm \(A\) theo phương \(AB\) lên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là điểm nào sau đây?

Đáp án đúng là: A

Vì \(N\) là trung điểm của \(AD\) nên \(NA = ND = \frac{{AD}}{2} = BC.\)

Xét tứ giác \(BCDN\) có: \(ND = BC\) và \(ND{\rm{//}}BC\) (do \(AD{\rm{//}}BC\)).

Suy ra \(BCDN\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow NB{\rm{//}}CD\) mà \(CD \subset \left( {SCD} \right)\) nên \(NB{\rm{//}}\left( {SCD} \right).\)

Xét tam giác \(SAD\) có: \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(AD.\)

Suy ra \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAD.\)

\( \Rightarrow MN{\rm{//}}SD\) mà \(SD \subset \left( {SCD} \right)\) nên \(MN{\rm{//}}\left( {SCD} \right).\)

Ta có: \(NB{\rm{//}}\left( {SCD} \right);\,\,MN{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\) và \(NB \cap MN = N\) trong \(\left( {BMN} \right).\)

\( \Rightarrow \left( {BMN} \right){\rm{//}}\left( {SCD} \right).\)

a) • Xét \(\Delta SAC\) có: \(M,\,\,O\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,AC\) nên \(MO\) là đường trung bình của \(\Delta SAC\), suy ra \[MO{\rm{//}}SC.\]

Mà \(SC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow MO{\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)

• Xét \[\Delta DCB\] có: \(N,\,\,O\) lần lượt là trung điểm của \[CD,\,\,BD\] nên \(NO\) là đường trung bình của \[\Delta DCB\], suy ra \(NO{\rm{//}}BC.\)

Mà \(BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow NO{\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)

Ta có: \(MO{\rm{//}}\left( {SBC} \right);\,\,NO{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\) và \(MO \cap NO = O\) trong \(\left( {OMN} \right).\)

\( \Rightarrow \left( {OMN} \right){\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)

Vậy (OMN) // (SBC).

b) Ta có: \(J\) một điểm trên \(\left( {ABCD} \right)\) và cách đều \(AB,\,\,CD;\)

\(AB{\rm{//}}CD\) (do \(ABCD\) là hình bình hành).

Suy ra \(J\) thuộc đường thẳng đi qua \(O\) và song song với \(AB\) và \(CD.\)

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(H = OJ \cap AD,\,\,H \in AD.\)

Khi đó \(OH{\rm{//}}AB.\)

Xét \(\Delta ABD\) có: \(OH{\rm{//AB}}\) và \(O\) là trung điểm của \(BD.\)

Suy ra \(H\) là trung điểm của \(AD.\)

Xét \(\Delta SAD\) có: \(I,\,\,H\) lần lượt là trung điểm của \(SD,\,\,AD\) nên \(IH\) là đường trung bình của \(\Delta SAD\), suy ra \[{\rm{IH//}}SA.\]

Mà \(SA \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow IH{\rm{//}}\left( {SAB} \right).\)

Do \(J \in OH\) nên \(JH{\rm{//AB}}\) (do \(OH{\rm{//}}AB\)).

Mà \(AB \subset \left( {SAB} \right)\) nên \(JH{\rm{//}}\left( {SAB} \right).\)

Ta có: \(JH{\rm{//}}\left( {SAB} \right);\,\,IH{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\) và \(JH \cap IH = H\) trong \(\left( {IJH} \right).\)

\( \Rightarrow \left( {IJH} \right){\rm{//}}\left( {SAB} \right).\)

\( \Rightarrow IJ{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\) (do \(IJ \subset \left( {IJH} \right)\)).