Cho hình chóp \(S.ABCD\) với đáy \(ABCD\) là hình thang có \(AD{\rm{//}}BC\) và \(AD = 2BC.\) Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(AD.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?

Đáp án đúng là: D

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABCD} \right){\rm{//}}\left( {A'B'C'D'} \right)\\\left( {AA'D'D} \right){\rm{//}}\left( {BB'C'C} \right)\\\left( {ABB'A'} \right){\rm{//}}\left( {CDD'C'} \right)\end{array} \right.\)

Như vậy, ba phương án A, B, C đúng.

Phương án D sai vì:

Gọi \(O = AC \cap BD.\)

Mà \(AC \subset \left( {ACC'A'} \right);\,\,BD \subset \left( {BDD'B'} \right).\)

\( \Rightarrow O \in \left( {BDD'B'} \right) \cap \left( {ACC'A'} \right).\)

Suy ra hai mặt phẳng \(\left( {BDD'B'} \right)\) và \(\left( {ACC'A'} \right)\) không song song với nhau.

Đáp án đúng là: A

Trong \(\left( {ABC} \right)\): qua \(H\) kẻ đường thẳng \(d\) song song với \(AB\) và cắt \(BC,\,\,AC\) lần lượt tại \(M,\,\,N.\)

Trong \(\left( {ACD} \right)\): từ \(N\) kẻ \(NP\) song song với \(CD\,\,\left( {P \in CD} \right).\)

Trong \(\left( {ABD} \right)\): từ \(P\) kẻ \(PQ\) song song với \(AB\,\,\left( {Q \in BD} \right).\)

Ta có \(MN{\rm{//}}PQ\) (do cùng song song với \(AB\)) nên \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) đồng phẳng.

Ta có: \(AB{\rm{//}}MN;\,\,MN \subset \left( {MNPQ} \right) \Rightarrow AB{\rm{//}}\left( {MNPQ} \right);\)

\({\rm{CD//}}NP;\,\,NP \subset \left( {MNPQ} \right) \Rightarrow CD{\rm{//}}\left( {MNPQ} \right);\)

Hơn nữa \(H \in MN\) mà \(MN \subset \left( {MNPQ} \right)\) nên \(H \in \left( {MNPQ} \right).\)

Từ các kết quả trên ta có: \(\left( \alpha \right) \equiv \left( {MNPQ} \right).\)

Dễ dàng có được:

\(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN;\)

\(\left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right) = NP;\)

\(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right) = PQ;\)

\(\left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right) = QM.\)

Suy ra thiết diện của \(\left( \alpha \right)\) với tứ diện \(ABCD\) là \(MNPQ.\)

Xét ba mặt phẳng \(\left( {ACD} \right),\,\,\left( {BCD} \right),\,\,\left( {MNPQ} \right)\) có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ACD} \right) \cap \,\left( {BCD} \right) = CD\\\left( {ACD} \right) \cap \left( {MNPQ} \right) = NP\\\left( {BCD} \right) \cap \left( {MNPQ} \right) = QM\end{array} \right.\) và \(CD{\rm{//}}NP\) nên \(CD{\rm{//}}NP{\rm{//}}QM.\)

Xét tứ giác \(MNPQ\) có: \(MN{\rm{//}}PQ\) và \(NP{\rm{//}}QM\) nên \(MNPQ\) là hình bình hành.