Tính các giới hạn sau:

(a) \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right);\]

(b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{5 - x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}.\]

a) Vì \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\) nên \(O\) là trung điểm của \(AC,\,\,BD.\)

Xét \(\Delta SBD\) có: \(O,\,\,M\) lần lượt là trung điểm của \(BD,\,\,SB.\)

Suy ra \(OM\) là đường trung bình của \(\Delta SBD.\)

\( \Rightarrow OM//SD.\)

Hơn nữa \(SD \subset \left( {SCD} \right);\,\,OM\,\, \not\subset \left( {SCD} \right).\)

\( \Rightarrow OM{\rm{//}}\left( {SCD} \right).\)

b) Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(K = AN \cap CD.\)

\[ \Rightarrow K \in AN;\,\,K \in CD.\]

Mà \(AN \subset \left( {AMN} \right)\) và \(CD \subset \left( {SCD} \right).\)

\( \Rightarrow K \in \left( {SCD} \right) \cap \left( {AMN} \right).\) (1)

Vì \(N\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BN = 2CN\) nên \(MN\) không song song với \(SC.\) Trong \(\left( {SBC} \right)\) gọi \[H = MN \cap SC.\]

\( \Rightarrow H \in MN;\,\,H \in SC.\)

Mà \(MN \subset \left( {AMN} \right)\) và \(SC \subset \left( {SCD} \right).\)

\( \Rightarrow H \in \left( {SCD} \right) \cap \left( {AMN} \right).\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(HK = \left( {SCD} \right) \cap \left( {AMN} \right).\)

Đáp án đúng là: B

Do \(ABEF\) là hình bình hành nên \(AF{\rm{//}}BE.\)

Mà \(BE \subset \left( {BCE} \right);\,\,AF \not\subset \left( {BCE} \right) \Rightarrow AF{\rm{//}}\left( {BCE} \right).\)

Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AD{\rm{//}}BC.\)

Mà \(BC \subset \left( {BCE} \right);\,\,AD \not\subset \left( {BCE} \right) \Rightarrow AD{\rm{//}}\left( {BCE} \right).\)

Ta có: \(AF{\rm{//}}\left( {BCE} \right);\,\,AD{\rm{//}}\left( {BCE} \right)\) và \(AF \cap AD = A\) trong \(\left( {ADF} \right).\)

Suy ra \[\left( {ADF} \right){\rm{//}}\left( {BCE} \right).\]