Cho điểm \(M \in \left( \alpha \right)\) và phương \(l\) không song song với \(\left( \alpha \right).\) Hình chiếu của \(M\) lên \(\left( \alpha \right)\) qua phép chiếu song song theo phương \(l\) là

a) \[\lim \frac{{{{4.3}^n} + {7^{n + 1}}}}{{{{2.5}^n} + {7^n}}} = \lim \frac{{{{4.3}^n} + {{7.7}^n}}}{{{{2.5}^n} + {7^n}}} = \lim \frac{{4.{{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^n} + 7}}{{2.{{\left( {\frac{5}{7}} \right)}^n} + 1}}\]

\[ = \frac{{\lim \left[ {4.{{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^n} + 7} \right]}}{{\lim \left[ {2.{{\left( {\frac{5}{7}} \right)}^n} + 1} \right]}} = \frac{{4.\lim {{\left( {\frac{5}{7}} \right)}^n} + \lim 7}}{{2\lim {{\left( {\frac{5}{7}} \right)}^n} + \lim 1}} = \frac{{4.0 + 7}}{{2.0 + 1}} = 7.\]

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 4x + 4} }}{{x + 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} }}{{x + 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{\left| {x + 2} \right|}}{{x + 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{x + 2}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} 1 = 1.\)

(Vì \(x \to - {2^ + }\) thì \(\left| {x + 2} \right| > 0\) nên \(\left| {x + 2} \right| = x + 2\)).

a) Gọi \(\Delta \) là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\). Khi đó \(\Delta \) đi qua \(G\) và song song với \(CD.\)

Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là giao điểm của \(\Delta \) với \(BC\) và \(BD.\)

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{H \in \left( P \right)}\\{H \in BC \subset \left( {BCD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow H \in \left( P \right) \cap \left( {BCD} \right)(1)\]

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{K \in \left( P \right)}\\{K \in BD \subset \left( {BCD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow K \in \left( P \right) \cap \left( {BCD} \right)(2)\]

Từ \[\left( 1 \right),\left( 2 \right)\] ta có giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) là \(HK.\)

b) Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\) và \(HK{\rm{//}}CD\) (do \[\Delta {\rm{//}}CD\]) nên theo định lí Thaés ta có: \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{MG}}{{MB}} = \frac{{DK}}{{DB}} = \frac{1}{3}\).

Giả sử \(\left( P \right)\) cắt hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {ABD} \right)\) lâng lượt tại các giao tuyến là \(HI\) và \(KJ.\)

Ta có \[\left( P \right) \cap \left( {ABC} \right) = HI\]; \[\left( P \right) \cap \left( {ABD} \right) = KJ\,.\]

Mà \[AB{\rm{//}}\left( P \right)\] và \[AB \subset \left( {ABC} \right);\,\,AB \subset \left( {ABD} \right)\] nên \[HI{\rm{//}}AB{\rm{//}}KJ.\]

Vì \(HI{\rm{//}}KJ\) nên bốn điểm \(H,\,\,I,\,\,K,\,\,J\) đồng phẳng.

Ta dễ dang có:

\[\left( P \right) \cap \left( {ABC} \right) = HI;\]

\(\left( P \right) \cap \left( {ACD} \right) = IJ;\)

\[\left( P \right) \cap \left( {ABD} \right) = KJ\,;\]

\[\left( P \right) \cap \left( {BCD} \right) = KH.\]

Như vậy, thiết diện của tứ diện \[ABCD\] cắt bởi mặt phẳng \[\left( P \right)\] là tứ giác \(HIJK.\)

Theo hệ quả định lí Thalès:

Trong tam giác \(ABC\) với \(HI{\rm{//}}AB\) ta có \(\frac{{HI}}{{AB}} = \frac{{CH}}{{CB}} = \frac{1}{3}.\)

Trong tam giác \(ABD\) với \(KJ{\rm{//}}AB\) ta có \(\frac{{KJ}}{{AB}} = \frac{{DK}}{{BD}} = \frac{1}{3}.\)

\( \Rightarrow \frac{{HI}}{{AB}} = \frac{{KJ}}{{AB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow HI = KJ.\)

Xét tứ giác \(HIJK\) có: \(HI{\rm{//}}KJ\) và \(HI = KJ\) nên \(HIJK\) là hình bình hành.

Vậy thiết diện của \[\left( P \right)\] và tứ diện \[ABCD\] là hình bình hành \(HIJK\).