Cho \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Với biểu thức \(P = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) thì mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(P \ge 0.\)

B. \(P > 0.\)

C. \(P \le 0.\)

D. \(P < 0.\)

Đáp án đúng là: C

Đa giác thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng có nhiều nhất 5 cạnh với các cạnh thuộc các mặt của hình lăng trụ tam giác.

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{{x^3} - x}}.\)

Điều kiện xác định: \({x^3} - x \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right..\)

Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{{x^3} - x}}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;0;1} \right\}.\)

Kết luận A, B, C sai vì: Hàm số đã cho không xác định tại \(x = - 1;\,\,x = 0;\,\,x = 1\) nên không liên tục tại các điểm đó.

Kết luận D đúng vì:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{2x - 1}}{{{x^3} - x}} = \frac{{2.\frac{1}{2} - 1}}{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3} - \frac{1}{2}}} = 0;\) \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{2.\frac{1}{2} - 1}}{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3} - \frac{1}{2}}} = 0.\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f\left( x \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right).\)

Vậy hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{{x^3} - x}}\) liên tục tại \(x = \frac{1}{2}\).