Một gian hàng trưng bày giường và tủ quần áo rộng 95 m². Diện tích để kê một chiếc giường là 3,2 m², một chiếc tủ quần áo là 1,6 m². Gọi \(x\) là số chiếc giường và \(y\) là số chiếc tủ quần áo được kê. Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,\,y\) cho phần mặt sàn để kê giường và tủ quần áo biết diện tích mặt sàn dành cho lưu thông tối thiểu là 15 m².

Ta phân tích được: \[\overrightarrow {AL} = \frac{b}{{b + c}}\overrightarrow {AB} + \frac{c}{{b + c}}\overrightarrow {AC} \]

\[\overrightarrow {CM} = \frac{{\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} }}{2} = \frac{{\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} }}{2}\]

Theo giả thiết: \[AL \bot CM \Leftrightarrow \overrightarrow {AL} .\overrightarrow {CM} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {b\overrightarrow {AB} + c\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} } \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow b{c^2} + b{c^2}\cos A - 2c{b^2}\cos A - 2c{b^2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {c - 2b} \right)\left( {1 + \cos A} \right) = 0 \Rightarrow c = 2b\,\,\left( {do\,\,\cos A > - 1} \right)\]

Khi đó: \[C{M^2} = \frac{{{b^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{2}\]

\[A{L^2} = \frac{1}{9}{\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = \frac{1}{9}\left( {A{B^2} + A{C^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{2}{9}\left( {9{b^2} - {a^2}} \right)\]

\[\frac{{CM}}{{AL}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \frac{{C{M^2}}}{{A{L^2}}} = \frac{9}{4}.\frac{{{a^2} - {b^2}}}{{9{b^2} - {a^2}}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow {a^2} = 3{b^2}\]

Do đó, \[\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{b^2} + {{\left( {2b} \right)}^2} - 3{b^2}}}{{2b \cdot 2b}} = \frac{1}{2}\].

Gọi \(C\) là vị trí ngọn hải đăng, từ \(C\) kẻ \(CH\) vuông góc với đường thẳng \(AB\) tại \(H\). Khi đó \(CH\) là khoảng cách từ ngọn hải đăng tới bờ biển. Ta mô phỏng bài toán như hình vẽ sau:

Vì \(\widehat {CBH}\) là góc ngoài tại đỉnh \(B\) của tam giác \(ABC\) nên \(\widehat {CBH} = \widehat {CAB} + \widehat {ACB}\).

Suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {CBH} - \widehat {CAB} = 70^\circ - 50^\circ = 20^\circ \).

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {CAB}}}\)\( \Rightarrow BC = \frac{{AB\sin \widehat {CAB}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{20 \cdot \sin 50^\circ }}{{\sin 20^\circ }} \approx 44,8\).

Tam giác \(CBH\) vuông tại \(H\) nên ta có:

\(CH = BC\sin \widehat {CBH} = 44,8 \cdot \sin 70^\circ \approx 42,1\).

Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển khoảng 42,1 m.