Tính các giới hạn sau:

a) \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\];                                               b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{6}} \frac{{2\tan x + 1}}{{\sin x + 1}}\).

2. Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^3} + 8x + m}}{{x - 1}}\;\,\,{\rm{khi}}\;\,x \ne 1\\n\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,{\rm{khi}}\;\,x = 1\end{array} \right.\] , với \(m\),\(n\) là các tham số thực. Biết rằng hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\), khi đó hãy tính giá trị của biểu thức \(P = m + n\).

1.

a) \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt n \left( {n + 1 - n} \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt n \left( {\sqrt {1 + \frac{1}{n}} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} + 1}} = \frac{1}{2}\]. (0,5 điểm)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{6}} \frac{{2\tan x + 1}}{{\sin x + 1}} = \frac{{2\tan \frac{\pi }{6} + 1}}{{\sin \frac{\pi }{6} + 1}} = \frac{{4\sqrt 3 + 6}}{9}\). 

2.

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Với \(x \ne 1\) ta có \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3} + 8x + m}}{{x - 1}} = {x^2} + x + 9 + \frac{{m + 9}}{{x - 1}}\).

\(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\) khi và chỉ khi $li{m}_{x\to 1}f\left(x\right) = f\left(1\right) \left(1\right)$

Nếu \(m + 9 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 9\) thì không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\).

Do đó \(m + 9 = 0\)\( \Leftrightarrow m = - 9\). Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + x + 9} \right) = 11\).

Vậy \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow n = 11\), suy ra \(P = m + n = - 9 + 11 = 2\).