Cho chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình bình hành. Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC,CD,SD.\)

(a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).

Chứng minh rằng\(NP{\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)

(b) Gọi \(Q\) là giao điểm của \(SA\)với \(\left( {MNP} \right).\) Tính tỉ số \(\frac{{SQ}}{{SA}}.\)

a) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\)

Xét hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\)có

+ \(S\) là điểm chung của hai mặt phẳng.

+ \(\left. \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \) \(O\)là điểm chung của hai mặt phẳng.

Vậy \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\).

Vì \(N,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(CD,SD\) nên \(NP\)là đường trung bình của \(\Delta SCD\)

Suy ra \(NP{\rm{//}}SC\).

Do \(\left\{ \begin{array}{l}NP \not\subset \left( {SBC} \right)\\NP{\rm{//}}SC\\SC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow NP{\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)

b) Gọi \(I = AC \cap MN.\)

+\[\left\{ \begin{array}{l}NP{\rm{//}}SC\\IQ = \left( {PMN} \right) \cap \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow IQ{\rm{//}}SC \Rightarrow \frac{{CI}}{{CA}} = \frac{{SQ}}{{SA}}\] .

Vì \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(CD\) nên \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta BCD\).

Suy ra \(MN{\rm{//}}BD\) mà \(N\) là trung điểm của \(CD\) nên \(I\) là trung điểm của \(CO\).

Mặt khác \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(CO = \frac{1}{2}CA\).

+ Ta có: \(CI = \frac{1}{2}CO = \frac{1}{4}CA \Rightarrow \frac{{SQ}}{{SA}} = \frac{{CI}}{{CA}} = \frac{1}{4}\).