Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác \(ABC\) được gọi là tam giác trung bình của tam giác \(ABC\). Ta xây dựng dãy các tam giác \({A_1}{B_1}{C_1};{A_2}{B_2}{C_2};{A_3}{B_3}{C_3};...\) sao cho \({A_1}{B_1}{C_1}\) là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương \(n \ge 2\), tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) là tam giác trung bình của tam giác \({A_{n - 1}}{B_{n - 1}}{C_{n - 1}}\). Với mỗi số nguyên dương \(n\), kí hiệu \({S_n}\) tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\). Tính tổng \(S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...\)

Vì dãy các tam giác \({A_1}{B_1}{C_1};{A_2}{B_2}{C_2};{A_3}{B_3}{C_3};...\) là các tam giác đều nên bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác bằng cạnh \( \times \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Với \(n = 1\) thì tam giác đều \({A_1}{B_1}{C_1}\) có cạnh bằng 3 nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \({A_1}{B_1}{C_1}\) là \({R_1} = 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \sqrt 3 \). Do đó \({S_1} = \pi {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 3\pi \).

Với \(n = 2\) thì tam giác đều \({A_2}{B_2}{C_2}\) có cạnh bằng \(\frac{3}{2}\) nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \({A_2}{B_2}{C_2}\) là \({R_2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Do đó \({S_2} = \pi {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = 3\pi \cdot \frac{1}{4}\).

Với \(n = 3\) thì tam giác đều \({A_3}{B_3}{C_3}\) có cạnh bằng \(\frac{3}{4}\) nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \({A_3}{B_3}{C_3}\) là \({R_3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\). Do đó \({S_3} = \pi {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)^2} = 3\pi {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2}\).

Như vậy tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) có cạnh \(3 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \({A_n}{B_n}{C_n}\) là \[{R_n} = 3 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \sqrt 3 .{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\]. Do đó \({S_n} = \pi {\left( {\sqrt 3 .{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n - 1}}} \right)^2} = 3\pi {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n - 1}}\).

Khi đó \(S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...\)\[ = 3\pi + 3\pi \cdot \frac{1}{4} + 3\pi \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} + ... + 3\pi \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n - 1}} + ...\] là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 3\pi ;q = \frac{1}{4}\).

Vậy \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{3\pi }}{{1 - \frac{1}{4}}} = 4\pi \).