II. Tự luận (3 điểm)

 (1 điểm) Một con sông rộng 200 m, sâu 10 m, để thuận lợi cho giao lưu buôn bán hai bờ sông, người ta dự định xây dựng cây cầu bắc qua sông. Mỗi bên đầu cầu có một cột trụ (minh họa như hình vẽ), độ dài của mỗi cột trụ là 12 m và khoảng cách từ chân cầu đến cột trụ là 4 m. Tính độ cao của cầu (tính từ mặt sông đến điểm cao nhất của cầu, làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp án đúng là: D

Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 5x - 9} = \sqrt {3{x^2} - 2x + 3} \) ta được:

\(2{x^2} - 5x - 9 = 3{x^2} - 2x + 3 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 12 = 0 \Leftrightarrow x \in \emptyset \).

Vậy phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 5x - 9} = \sqrt {3{x^2} - 2x + 3} \) vô nghiệm.

Vì M là trung điểm của BC nên \[\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\].

Suy ra \[AM = {\overrightarrow {AM} ^2} = \frac{1}{4}{\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)\]

Lại có \[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right) = c \cdot b.\cos A = bc \cdot \frac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right)\]

Nên \[A{M^2} = \frac{1}{4}\left( {{c^2} + 2.\frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right) + {b^2}} \right) = \frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\].

Theo tính chất đường phân giác thì \[\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b}\].

Suy ra \[\overrightarrow {BD} = \frac{{BD}}{{DC}}\overrightarrow {DC} = \frac{b}{c}\overrightarrow {DC\,} \,\,\,\,\,\left( * \right)\]

Mặt khác \[\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} \] thay vào (*) ta được

\[\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} = \frac{b}{c}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} } \right) \Leftrightarrow \left( {b + c} \right)\overrightarrow {AD} = b\overrightarrow {AB} + c\overrightarrow {AC} \]

\[ \Leftrightarrow {\left( {b + c} \right)^2}{\overrightarrow {AD} ^2} = {\left( {b\overrightarrow {AB} } \right)^2} + 2bc\overrightarrow {AB} \overrightarrow {AC} + {\left( {c\overrightarrow {AC} } \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {b + c} \right)^2}{\overrightarrow {AD} ^2} = {b^2}{c^2} + 2bc.\frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right) + {c^2}{b^2}\]

\[ \Leftrightarrow {\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{{bc}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)\]

Vậy \[{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{{bc}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)\].