Tam giác \(ABC\) có \(AB = 3\,cm\), \(BC = 4\,cm\), \(\widehat {ABC} = 60^\circ \). Độ dài cạnh \(AC\) bằng

Lợi nhuận của công ty trong một tháng khi bán hết \(q\) sản phẩm là:

\(L\left( q \right) = q.R\left( q \right) - C\left( q \right) = q\left( {120 - 2q} \right) - \left( {4{q^2} + 36q - 1\,\,234} \right)\)\( = - 6{q^2} + 84q + 1\,234\).

Để lợi nhuận công ty thu về là cao nhất, tức cần tìm \(q\) để \(L\left( q \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Lại có \(L\left( q \right) = - 6{q^2} + 84q + 1\,234\) là hàm số bậc hai có hệ số \(a = - 6 < 0\), nên nó đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh.

Ta có: \(q = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{84}}{{2.\left( { - 6} \right)}} = 7\). Do đó, \(L\left( q \right)\)đạt giá trị lớn nhất tại \(q = 7\).

Vậy công ty A cần sản xuất 7 sản phẩm trong một tháng để thu về lợi nhuận cao nhất.

Kí hiệu như hình vẽ trên.

Sau 2 giờ, tàu \(B\) chạy được 48 hải lí, tàu \(C\) chạy được 36 hải lí.

Hay \(AB = 48\) hải lí, \(AC = 36\) hải lí.

Xét tam giác \(ABC\), áp dụng định lí côsin ta có:

\(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC \cdot AB \cdot \cos \widehat {BAC}\)

\( = {36^2} + {48^2} - 2 \cdot 36 \cdot 48 \cdot \cos 45^\circ \approx 1156,24\)

Do \(BC > 0\) nên \(BC = \sqrt {1156,24} \approx 34\) hải lí.

Vậy sau hai giờ, hai tàu cách nhau khoảng 34 hải lí.