II. Tự luận (3 điểm)

(1 điểm). Khi quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt độ cao nào đó rồi rơi xuống đất. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oth\), trong đó \(t\) là thời gian, kể từ khi quả bóng được đá lên, \(h\) là độ cao của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao 1,2 m. Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8,5 m và 2 giây sau khi đá lên, nó ở độ cao 6 m. Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao \(h\) theo thời gian \(t\) và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên.

Đáp án đúng là: A

Vì \(E\) là điểm đối xứng của \(D\) qua \(C\) nên \(C\) là trung điểm của \(DE\), do đó \(DE = 2DC = 2 \cdot 3 = 6\).

Ta có: \(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DE} } \right) \cdot \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DE} \cdot \overrightarrow {AB} \)

Do \(AB \bot AD\) nên \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AB} = 0\).

Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DE} \) cùng hướng nên \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {DE} } \right) = 0^\circ \).

Do đó, $\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{AB}=\left|\overrightarrow{DE}\right|\cdot \left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot \cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DE}\right)=DE\cdot AB\cdot \cos 0°=6\cdot 3\cdot 1=18$

Vậy \(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AB} = 0 + 18 = 18\).

Gọi \(O,\,\,A,\,\,B\) lần lượt là vị trí sân bay và hai máy bay sau 2 tiếng.

Hướng \({\rm{N25^\circ E}}\) là hướng tạo với hướng bắc một góc \(25^\circ \) và tạo với hướng đông một góc \(90^\circ - 25^\circ = 65^\circ \). Ta mô phỏng bài toán đã cho như sau:

Quãng đường máy bay bay theo hướng đông sau 2 tiếng là

\(OA = 540 \cdot 2 = 1\,\,080\) (km).

Quãng đường máy bay bay theo hướng \({\rm{N25^\circ E}}\) sau 2 tiếng là

\(OB = 670 \cdot 2 = 1\,\,340\) (km).

Ta có: \(\widehat {AOB} = 65^\circ \), \(OA = 1\,\,080,\,\,OB = 1\,\,340\).

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(OAB\), ta có:

\(A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos \widehat {AOB}\)

\( = 1\,\,{080^2} + 1\,\,{340^2} - 2 \cdot 1\,\,080 \cdot \,1\,\,340 \cdot \cos 65^\circ \approx 1\,\,738\,\,774\).

Suy ra \(AB \approx \sqrt {1\,\,738\,\,774} \approx 1\,\,319\) (km).

Vậy sau 2 tiếng, hai máy bay cách nhau khoảng 1 319 km.