Cho định lí: “Nếu \(Ot\) và \(Ou\) là hai tia phân giác của hai góc kề bù thì \(\widehat {tOu}\) là góc vuông”. Giả thiết, kết luận của định lí này là

a) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta DBH\) có:

\[\widehat {AHB} = \widehat {DHB} = 90^\circ \];

\(BH\) là cạnh chung;

\(AH = DH\) (giả thiết).

Do đó \[\Delta BAH{\rm{ = }}\Delta BDH\] (hai cạnh góc vuông)

Suy ra \(\widehat {ABH} = \widehat {DBH}\) (hai góc tương ứng)

Từ đó ta có \(BC\) là tia phân giác của \(\widehat {ABD}\).

b) Do \[\Delta BAH{\rm{ = }}\Delta BDH\] (chứng minh câu a)

Nên \(\widehat {BAH} = \widehat {BDH}\) (hai góc tương ứng)

Lại có \(DM\,{\rm{//}}\,BA\) (giả thiết) nên \(\widehat {BAH} = \widehat {MDH}\) (hai góc so le trong)

Do đó \(\widehat {BDH} = \widehat {MDH}\)

Xét \(\Delta BDH\) và \[\Delta MDH\] có:

\(\widehat {BHD} = \widehat {MHD} = 90^\circ \);

\(DH\) là cạnh chung;

\(\widehat {BDH} = \widehat {MDH}\) (chứng minh trên).

Do đó \(\Delta BDH = \Delta MDH\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra \(BH = MH\) (hai cạnh tương ứng)

Hay \(H\) là trung điểm của \(BM\).

Ta có \(AD \bot BM\) tại trung điểm \(H\) của đoạn thẳng \(BM\) nên \[AD\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[BM\].

c) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta DBC\) có:

\(AB = DB\) (do \[\Delta BAH{\rm{ = }}\Delta BDH\]);

\(\widehat {ABC} = \widehat {DBC}\) (chứng minh câu a);

\(BC\) là cạnh chung

Do đó \(\Delta ABC = \Delta DBC\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {BAC} = \widehat {BDC} = 90^\circ \) (hai góc tương ứng)

Hay \(CD \bot BD\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\)              

Xét \(\Delta AHM\) và \(\Delta DHB\) có:

\(\widehat {AHM} = \widehat {DHB} = 90^\circ \);

\(AH = DH\) (giả thiết);

\(BH = MH\) (chứng minh câu b)

Do đó \(\Delta AHM = \Delta DHB\) (hai cạnh góc vuông)

Suy ra \(\widehat {HAM} = \widehat {HDB}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(AN\,{\rm{//}}\,BD\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(CD \bot AN\).

Mặt khác \(CN \bot AN\) (giả thiết)

Từ đó suy ra hai đường thẳng \(CD\) và \(CN\) trùng nhau hay ba điểm \(C,\,\,N,\,\,D\) thẳng hàng.

Cách 1:

Xét các điểm biểu diễn số thực \(x\) trên trục số.

Biểu thức \(A = \left| {x - 1011} \right| + \left| {x - 1012} \right|\) đúng bằng tổng các khoảng cách từ \(x\)tới hai điểm 1011 và 1012.

• Nếu \(x\)nằm ngoài đoạn giữa 1011 và 1012 thì tổng khoảng cách trên lớn hơn khoảng cách giữa 1011 và 1012.

• Nếu \(x\) nằm trong đoạn giữa 1011 và 1012 thì tổng khoảng cách trên đúng bằng khoảng cách giữa 1011 và 1012.

Vậy biểu thức \(A = \left| {x - 1011} \right| + \left| {x - 1012} \right|\) có giá trị nhỏ nhất là bằng \(\left| {1012 - 1011} \right| = 1\), khi \(1011 \le x \le 1012\).

Cách 2:

Với mọi \(x\)ta có \(\left| {x - 1012} \right| = \left| {1012 - x} \right|\)

Do đó \(A = \left| {x - 1011} \right| + \left| {x - 1012} \right| = \left| {x - 1011} \right| + \left| {1012 - x} \right|\)

                                                   \( \ge \left| {x - 1011 + 1012 - x} \right| = 1\)

Khi đó \(A \ge 1\), với mọi \(x\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {x - 1011} \right).\left( {1012 - x} \right) \ge 0\)

Suy ra \(\left( {x - 1011} \right)\) và \(\left( {1012 - x} \right)\) cùng dấu.

Trường hợp 1:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 1011 \ge 0\\1012 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1011\\x \le 1012\end{array} \right. \Leftrightarrow 1011 \le x \le 1012\)

Trường hợp 2:

\[\left\{ \begin{array}{l}x - 1011 \le 0\\1012 - x \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1011\\x \ge 1012\end{array} \right.\left( {v\^o {\rm{ }}l\'i } \right)\]

Vậy biểu thức \(A = \left| {x - 1011} \right| + \left| {x - 1012} \right|\) có giá trị nhỏ nhất bằng 1, khi \(1011 \le x \le 1012\).