Một học sinh đứng tại vị trí A trên ban công tầng 3 của trường THPT chuyên Lê Quý Đôn nhìn xuống bên kia đường thấy 2 chiếc xe ô tô đậu ở vị trí B và C. Biết các góc nhìn xuống từ A đến B và C theo phương ngang lần lượt là \(\frac{\pi }{{10}}\) và \(\frac{\pi }{{12}}\) (minh họa như hình vẽ), độ cao từ vị trí A đến mặt đất là \[AH = 10{\rm{m}}\] và các điểm H, B, C thẳng hàng. Tính khoảng cách giữa hai xe ô tô (không được sử dụng máy tính cầm tay để tính xấp xỉ kết quả).

Ta có: \(\cos \frac{{2\pi }}{{10}} = \sin \frac{{3\pi }}{{10}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 - 2{\sin ^2}\frac{\pi }{{10}} = 3\sin \frac{\pi }{{10}} - 4{\sin ^3}\frac{\pi }{{10}}\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \frac{\pi }{{10}} = 1\,\,\,\,\left( L \right)\\\sin \frac{\pi }{{10}} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{4}\,\,\,\,\left( N \right)\\\sin \frac{\pi }{{10}} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}\,\,\,\,\left( L \right)\end{array} \right.\end{array}\)

+ \(\cos \frac{\pi }{{10}} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\frac{\pi }{{10}}}  = \frac{{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }}{4}\)

+ \(\tan \frac{\pi }{{10}} = \frac{{\sin \frac{\pi }{{10}}}}{{\cos \frac{\pi }{{10}}}} = \frac{{\sqrt 5  - 1}}{{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }}\)