Cho tứ diện \(ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(4\), \(I\) là trung điểm của \(AC\), \(J\) là một điểm trên cạnh \(AD\) sao cho \(AJ = 2JD\). \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa \(IJ\) và song song với \(AB\). Tính diện tích của hình tạo bởi các giao tuyến của tứ diện với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Chọn C

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(IJ\) và song song với \(AB\)

Suy ra \(\left( P \right)\) cắt \(BD,BC\) lần lượt tại \(M,N\) sao cho

 \(IN{\rm{ // }}AB{\rm{ // }}JM\).

Thiết diện tạo bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\) và tứ diện \(ABCD\) là tứ giác \(IJMN\).

Nhận xét: tứ giác \(IJMN\) là hình thang cân có 2 đáy \(IN{\rm{ //  }}JM\) và

\(IN = \frac{1}{2}AB = 2;{\rm{ }}JM = \frac{1}{3}AB = \frac{4}{3}\).

\(IJ = MN = \sqrt {B{M^2} + B{N^2} - 2BM.BN.\cos {{60}^0}}  = \frac{{2\sqrt {13} }}{3}\).

Ta có \[JH\] là đường cao của hình thang cân \(IJMN \Rightarrow JH = \sqrt {I{J^2} - I{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{14}}{3}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {51} }}{3}\)

Diện tích hình thang cân \(IJMN\): \({S_{IJMN}} = \frac{1}{2}\left( {JM + IN} \right)JH = \frac{{5\sqrt {51} }}{9}\)