Cho hàm số \(y = ax + b\).

a) Với \(a = 0\) và \(b \ne 0\) thì đồ thị hàm số đã cho biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình nào? Đồ thị có vị trí như thế nào đối với trục hoành và trục hoành?

b) Xác định \(a\) và \(b\) để đồ thị hàm số đi qua hai điểm \(A\left( {3; - 6} \right)\) và \(B\left( { - 2;4} \right).\)

Giá thuê mỗi phòng sau khi tăng giá phòng lên \[x\% \] là: \(480 + 480 \cdot x\%  = 480 + 4,8x\) (nghìn đồng).

Số phòng cho thuê lúc giá phòng tăng \[x\% \] là: O10-2024-GV154..\[100 - 100 \cdot \frac{{4x}}{5}\% \]\[ = 100 - \frac{{4x}}{5}\] (phòng).

Tổng doanh thu tương ứng là:

\[A\left( x \right) = \left( {100 - \frac{{4x}}{5}} \right)\left( {480 + 4,8x} \right)\]\[ = 3,84\left( {125 - x} \right)\left( {100 + x} \right)\] (nghìn đồng).

Để nhà nghỉ đạt doanh thu cao nhất thì ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\left( x \right)\).

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: \(ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)\) với \(a,\,\,b\) là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}\)

Với mọi \(a,\,\,b\) là các số không âm, ta có:

\({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) nên \(\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0\) suy ra \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b.\) Như vậy bất đẳng thức \(\left( * \right)\) đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức \(\left( * \right)\) cho biểu thức \(A\left( x \right) = 3,84\left( {125 - x} \right)\left( {100 + x} \right),\) ta được:

\[A\left( x \right) = 3,84\left( {125 - x} \right)\left( {100 + x} \right) \le 3,84 \cdot {\left( {\frac{{125 - x + 100 + x}}{2}} \right)^2} = 48\,\,600\].

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[125 - x = 100 + x\] hay \[x = 12,5\].

Vậy giá phòng niêm yết là \[480 + 4,8 \cdot 12,5 = 540\] (nghìn đồng) thì khách sạn đạt doanh thu cao nhất là \(48\,\,600\) nghìn đồng \((48\,\,600\,\,000\) đồng).

Xét \(\Delta BCN\) vuông tại \(N,\) ta có:

\(BN = BC \cdot \sin \widehat {BCN} = 60 \cdot \sin 32^\circ  \approx 31,80{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Ta thấy \(NC\) và \(BM\) là các đoạn thẳng nằm trên phương ngang nên \(NC\,{\rm{//}}\,BM,\) suy ra \(\widehat {CBM} = \widehat {BCN} = 32^\circ \) (so le trong).

Khi đó, \(\widehat {ABM} = \widehat {ABC} - \widehat {CBM} = 53^\circ  - 32^\circ  = 21^\circ \).

Xét \(\Delta ABM\) vuông tại \(M\), ta có:

\(AM = AB \cdot \sin \widehat {ABM} = 60 \cdot \sin 21^\circ  \approx 21,50\) (cm).

Vậy, độ cao của điểm \(A\) trên đầu cánh tay robot so với mặt đất là:

\(AM + BN + CP \approx 21,50 + 31,80 + 17 = 70,3\) (cm).