Một nhóm học sinh tham gia một kỳ thi và có tổng cộng 40 điểm. Nếu biết rằng không có học sinh nào có điểm dưới 10 và tổng số điểm của các học sinh là 300. Chứng minh rằng không có học sinh nào có điểm lớn hơn 30.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Điểm trung bình của 40 học sinh là: \(\frac{{300}}{4} = 7,5\) (điểm).
Giả sử có một học sinh có điểm lớn hơn 30. Gọi điểm của học sinh đó là \[{a_k} > 30.\]
Điểm của các học sinh còn lại là \[{a_1},\,\,{a_2},\,\, \ldots ,\,\,{a_{k - 1}},\,\,{a_{k + 1}}\,\,,\,\, \ldots ,\,\,{a_{40}}.\]
Tổng điểm của các học sinh còn lại là: \[S = 300 - {a_k}.\]
Vì \[{a_k} > 30\] thì \[S < 300 - 30 = 270.\]
Số lượng học sinh còn lại là 39 nên trung bình điểm của các học sinh còn lại là:
\[M = \frac{S}{{39}} < \frac{{270}}{{39}} \approx 6,92.\]
Theo giả thiết, không có học sinh nào có điểm dưới 10.
Do đó, tổng điểm tối thiểu của 39 học sinh còn lại là: \[S\, \ge 10 \cdot 39 = 390.\]
Mà \[S < 270\] dẫn đến mâu thuẫn.
Vậy không có học sinh nào có điểm lớn hơn 30.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
![Tại hai điểm cách nhau \[1\,\,{\rm{km}}\] trên mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là \[40^\circ \] và \[32^\circ \] \((A,\,\,B,\,\,C\) thẳng hàng) (như hình vẽ). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/blobid0-1764082271.png)
Lời giải
Đặt \(BC = x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).
![Tại hai điểm cách nhau \[1\,\,{\rm{km}}\] trên mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là \[40^\circ \] và \[32^\circ \] \((A,\,\,B,\,\,C\) thẳng hàng) (như hình vẽ). (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/blobid1-1764082300.png)
Khi đó \(AC = BC + 1 = x + 1\,\,\left( {{\rm{km}}} \right).\)
Xét \[\Delta ADC\] vuông tại \[C\] có
\[CD = BC \cdot \tan 40^\circ = x\tan 40^\circ & \left( 1 \right)\]
Xét \[\Delta BDC\] vuông tại \[C\] có
\[CD = AC \cdot \tan 32^\circ = \left( {x + 1} \right)\tan 32^\circ & \left( 2 \right)\]Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[x\tan 40^\circ = \left( {x + 1} \right)\tan 32^\circ \]
\[x\tan 40^\circ = x\tan 32^\circ + \tan 32^\circ \]
\[x\left( {\tan 40^\circ - \tan 32^\circ } \right) = \tan 32^\circ \]
\[x = \frac{{\tan 32^\circ }}{{\tan 40^\circ - \tan 32^\circ }} \approx 2,45\,\,\left( {{\rm{km}}} \right).\]
Vậy ngọn núi cao khoảng \[2,45{\rm{ km}}.\]
Lời giải
Gọi \[x,{\rm{ }}y\] (bước) lần lượt là số bước mà anh Sơn và chị Hà đi bộ trong 1 phút\[\left( {x,{\rm{ }}y \in \mathbb{N}*;\,\,x > y} \right).\]
Trong 2 phút, anh Sơn đi được \(2x\) (bước); chị Hà đi được \(2y\) (bước).
Nếu đi cùng trong 2 phút thì anh Sơn đi nhiều hơn chị Hà 20 bước nên
\(2x - 2y = 20\) hay \(x - y = 10 & \left( 1 \right)\)
Trong 3 phút anh Sơn đi được \(3x\) (bước)
Trong 5 phút chị Hà đi được \(5y\) (bước)
Do chị Hà đi trong 5 phút thì nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước nên
\[5y - 3x = 160\] hay \[ - 3x + 5y = 160 & & \left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 10\\ - 3x + 5y = 160\end{array} \right.\).
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(3,\) ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 3y = 30\\ - 3x + 5y = 160\end{array} \right..\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được: \(2y = 190\) nên \(y = 95\) (thỏa mãn).
Thay \(y = 95\) vào phương trình thứ nhất của hệ ban đầu, ta được:
\[x - 95 = 10\] suy ra \(x = 10 + 95 = 105\) (thỏa mãn).
Mỗi ngày anh Sơn đi bộ trong 1 giờ nên số bước anh Sơn đi là \(105 \cdot 60 = 6\,\,300\) (bước)
Mỗi ngày anh Sơn đi bộ trong 1 giờ nên số bước chị Hà đi là \(95 \cdot 60 = 5\,\,700\) (bước)
Vậy anh Sơn đạt được mục tiêu đề ra, còn chị Hà thì không đạt mục tiêu đề ra.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập