Câu hỏi:

26/11/2025 11

Một nhóm học sinh tham gia một kỳ thi và có tổng cộng 40 điểm. Nếu biết rằng không có học sinh nào có điểm dưới 10 và tổng số điểm của các học sinh là 300. Chứng minh rằng không có học sinh nào có điểm lớn hơn 30.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo (Tự luận) có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Điểm trung bình của 40 học sinh là: $\frac{{300}}{4} = 7,5$ (điểm).

Giả sử có một học sinh có điểm lớn hơn 30. Gọi điểm của học sinh đó là \[{a_k} > 30.\]

Điểm của các học sinh còn lại là \[{a_1},\,\,{a_2},\,\, \ldots ,\,\,{a_{k - 1}},\,\,{a_{k + 1}}\,\,,\,\, \ldots ,\,\,{a_{40}}.\]

Tổng điểm của các học sinh còn lại là: \[S = 300 - {a_k}.\]

Vì \[{a_k} > 30\] thì \[S < 300 - 30 = 270.\]

Số lượng học sinh còn lại là 39 nên trung bình điểm của các học sinh còn lại là:

\[M = \frac{S}{{39}} < \frac{{270}}{{39}} \approx 6,92.\]

Theo giả thiết, không có học sinh nào có điểm dưới 10.

Do đó, tổng điểm tối thiểu của 39 học sinh còn lại là: \[S\, \ge 10 \cdot 39 = 390.\]

Mà \[S < 270\] dẫn đến mâu thuẫn.

Vậy không có học sinh nào có điểm lớn hơn 30.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tại hai điểm cách nhau \[1\,\,{\rm{km}}\] trên mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là \[40^\circ \] và \[32^\circ \] $(A,\,\,B,\,\,C$ thẳng hàng) (như hình vẽ). Tính chiều cao của ngọn núi (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

$Tại hai điểm cách nhau \[1\,\,{\rm{km}}\] trên mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là \[40^\circ \] và \[32^\circ \] $(A,\,\,B,\,\,C$ thẳng hàng) (như hình vẽ). (ảnh 1)$

Xem đáp án

Lời giải

Đặt $BC = x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$.

$Tại hai điểm cách nhau \[1\,\,{\rm{km}}\] trên mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là \[40^\circ \] và \[32^\circ \] $(A,\,\,B,\,\,C$ thẳng hàng) (như hình vẽ). (ảnh 2)$

Khi đó $AC = BC + 1 = x + 1\,\,\left( {{\rm{km}}} \right).$

Xét \[\Delta ADC\] vuông tại \[C\] có

\[CD = BC \cdot \tan 40^\circ = x\tan 40^\circ & \left( 1 \right)\]

Xét \[\Delta BDC\] vuông tại \[C\] có

\[CD = AC \cdot \tan 32^\circ = \left( {x + 1} \right)\tan 32^\circ & \left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[x\tan 40^\circ = \left( {x + 1} \right)\tan 32^\circ \]

\[x\tan 40^\circ = x\tan 32^\circ + \tan 32^\circ \]

\[x\left( {\tan 40^\circ - \tan 32^\circ } \right) = \tan 32^\circ \]

\[x = \frac{{\tan 32^\circ }}{{\tan 40^\circ - \tan 32^\circ }} \approx 2,45\,\,\left( {{\rm{km}}} \right).\]

Vậy ngọn núi cao khoảng \[2,45{\rm{ km}}.\]

Câu 2

Giải các phương trình sau:

a) \[\left( {3x + 2} \right)\left( {1 - x} \right) = 0.\]

b) $\frac{{x + 3}}{{x - 3}} = \frac{3}{{{x^2} - 3x}} + \frac{1}{x}.$

Xem đáp án

Lời giải

a) \[\left( {3x + 2} \right)\left( {1 - x} \right) = 0\]

$3x + 2 = 0$ hoặc $1 - x = 0$

$3x = - 2$ hoặc $x = 1$

$x = \frac{{ - 2}}{3}$ hoặc $x = 1$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = \frac{{ - 2}}{3};\,\,x = 1.$

b) Điều kiện xác định $x \ne 0;\,\,x \ne 3.$

$\frac{{x + 3}}{{x - 3}} = \frac{3}{{{x^2} - 3x}} + \frac{1}{x}$

$\frac{{\left( {x + 3} \right)x}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{3}{{x\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x - 3}}{{x\left( {x - 3} \right)}}$

$\left( {x + 3} \right)x = 3 + x - 3$

${x^2} + 3x = 3 + x - 3$

${x^2} + 2x = 0$

$x\left( {x + 2} \right) = 0$

$x = 0$ hoặc $x + 2 = 0$

$x = 0$ (không thỏa mãn) hoặc $x = - 2$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm phương trình đã cho là $x = - 2$.

Câu 3