II. PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)

 

(1.0 điểm). Cho góc \(\alpha \) thỏa \(\sin \alpha = - \frac{4}{5}\) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Tính \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \alpha .\cos \frac{\pi }{3} - \sin \alpha .\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\cos \alpha  - \sqrt 3 .\sin \alpha }}{2}\)

Vì góc \(\alpha \)thỏa mãn \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\)nên ta có \(cos\alpha  < 0\)

Mặt khác lại có \(si{n^2}\alpha  + co{s^2}\alpha  = 1 \Rightarrow cos\alpha  =  - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } \)( vì \(\cos \alpha  < 0\))

Thay\(\sin \alpha  =  - \frac{4}{5} \Rightarrow cos\alpha  =  - \sqrt {1 - \frac{{16}}{{25}}}  = \frac{{ - 3}}{5}\)

Từ đó thay \(\sin \alpha  =  - \frac{4}{5}\) và \(cos\alpha  = \frac{{ - 3}}{5}\)ta được \(\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{3}} \right) = \)\(\frac{{\cos \alpha  - \sqrt 3 .\sin \alpha }}{2} = \frac{{4\sqrt 3  - 3}}{{10}}\).