(3,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \[O\]. Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA\) và \(SC\).

a) (1,0 điểm) Chứng minh \[MN//\left( {ABCD} \right).\]

b) (1,0 điểm) Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng \[\left( {BMN} \right)\]và \[\left( {ABCD} \right).\]

c) (1,0 điểm) Gọi \[P\] là trung điểm \[BO\]. Xác định giao điểm \(Q\) của cạnh \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\). Tính tỷ số \(\frac{{SQ}}{{SD}}\).

a) (1,0 điểm) Chứng minh \[MN//\left( {ABCD} \right).\]

Ta có \[MN\] là đường trung bình tam giác \[SAC\].

Suy ra \[MN//AC\].

Do đó: \[\left\{ \begin{array}{l}MN//AC\\MN \not\subset \left( {ABCD} \right);AC \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MN//\left( {ABCD} \right).\]

   b) (1,0 điểm) Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng \[\left( {BMN} \right)\]và \[\left( {ABCD} \right).\]

Ta có B là điểm chung của 2 mặt phẳng \[\left( {BMN} \right)\]và \[\left( {ABCD} \right).\]

Lại có: \[\left\{ \begin{array}{l}MN//AC\\AC \subset \left( {ABCD} \right);MN \subset (BMN).\end{array} \right. \Rightarrow (BMN) \cap \left( {ABCD} \right) = Bx,Bx\,//MN//AC.\]

     c) (1,0 điểm) Gọi \[P\] là trung điểm \[BO\]. Xác định giao điểm \(Q\) của cạnh \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\). Tính tỷ số \(\frac{{SQ}}{{SD}}\).

Gọi \[I\] là giao điểm của \[MN\] và \[SO\].

\(Q\) là giao điểm của \[PI\] và \[SD\].

Ta có \[Q \in PI,PI \subset (MNP) \Rightarrow Q \in (MNP).\]

Mà \[Q \in SD\]. Suy ra \(Q\) là giao điểm của \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).

Vì \[I\]là trung điểm \[SO\] nên \[PI\] là đường trung bình tam giác \[SBO\]. Suy ra \[PI//SB\] hay \[PQ//SB\].

Xét tam giác SBD có: \(\frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{{BP}}{{BD}} \Rightarrow \frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{1}{4}\).