Cho tứ diện \[ABC{\rm{D}}\] có \[M,N\] lần lượt là trung điểm của \[AB,AC\]. Mặt phẳng nào sau đây song song với đường thẳng \[MN\]?          

a) Tìm \[\cos \alpha \] biết \[\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \frac{1}{3}\].

\[\cos \alpha = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \frac{1}{3}\]

b) Tìm các giá trị lượng giác còn lại của góc \[\alpha \] biết \[\cos \alpha = \frac{{ - 4}}{5}\] và \[\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \].

\[{\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{ - 4}}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}\]

Vì  \[\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \sin \alpha = \frac{3}{5}\]

\[\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \frac{3}{4}\]

\[\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = - \frac{4}{3}\]

a) Chứng minh \[MN\] song song với \[BC\].

 \[\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SN}}{{SC}} = \frac{1}{2}\]   \[ \Rightarrow MN\parallel BC\]

Tìm giao tuyến của \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\].

Xét \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\] có \[S\] chung, \[AB\parallel CD;AB \subset \left( {SAB} \right);CD \subset \left( {SCD} \right)\]

Giao tuyến là đường thẳng qua \[S\] và song song với \[AB\]

b) Tìm giao tuyến của \[\left( {SAC} \right)\] và \[\left( {SBD} \right)\].

\[S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]

\[O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]

\[\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\]

Tìm giao điểm của \[AN\] và mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\]

Gọi \[E = AN \cap SO\]thì \[E \in SO \subset \left( {SBD} \right)\]

\[E = AN \cap \left( {SBD} \right)\]

c) Gọi \[\left( \alpha  \right)\] là mặt phẳng chứa \[DM\] và song song với \[AC\], cắt \[BC,\,SC\] lần lượt tại \[P,\,K\]. Chứng minh \[K\] là trọng tâm tam giác \[SBP\]

Xét \[\left( \alpha  \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] có \[D\] chung, \[AC\] nằm trong \[\left( {ABCD} \right)\] và \[AC\parallel \left( \alpha  \right)\]

nên giao tuyến của 2 mp là đường thẳng qua \[D\] và song song với \[AC\], cắt \[BC\] tại \[P\]

Tứ giác \[ACPD\] là hình bình hành nên \[CP = AD = BC\]

Vì \[M,P,K\] đều là điểm chung của \[\left( \alpha  \right)\] và \[\left( {SBC} \right)\] nên \[M,P,K\] thẳng hàng

Tam giác \[SBP\] có 2 trung tuyến \[SC,\,MP\] nên \[K\] là trọng tâm tam giác \[SBP\].