Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành tâm \[O\]. Gọi \[M,\,N\] lần lượt thuộc cạnh \[SB,\,SC\] sao cho \[SM = \frac{1}{2}SB;\,SN = \frac{1}{2}SC\].

a) Chứng minh \[MN\] song song với \[BC\]. Tìm giao tuyến của \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\].

b) Tìm giao tuyến của \[\left( {SAC} \right)\] và \[\left( {SBD} \right)\]. Tìm giao điểm của \[AN\] và mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\].

c) Gọi \[\left( \alpha  \right)\] là mặt phẳng chứa \[DM\] và song song với \[AC\], cắt \[BC,\,SC\] lần lượt tại \[P,\,K\]. Chứng minh \[K\] là trọng tâm tam giác \[SBP\]

a) Chứng minh \[MN\] song song với \[BC\].

 \[\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SN}}{{SC}} = \frac{1}{2}\]   \[ \Rightarrow MN\parallel BC\]

Tìm giao tuyến của \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\].

Xét \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\] có \[S\] chung, \[AB\parallel CD;AB \subset \left( {SAB} \right);CD \subset \left( {SCD} \right)\]

Giao tuyến là đường thẳng qua \[S\] và song song với \[AB\]

b) Tìm giao tuyến của \[\left( {SAC} \right)\] và \[\left( {SBD} \right)\].

\[S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]

\[O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]

\[\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\]

Tìm giao điểm của \[AN\] và mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\]

Gọi \[E = AN \cap SO\]thì \[E \in SO \subset \left( {SBD} \right)\]

\[E = AN \cap \left( {SBD} \right)\]

c) Gọi \[\left( \alpha  \right)\] là mặt phẳng chứa \[DM\] và song song với \[AC\], cắt \[BC,\,SC\] lần lượt tại \[P,\,K\]. Chứng minh \[K\] là trọng tâm tam giác \[SBP\]

Xét \[\left( \alpha  \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] có \[D\] chung, \[AC\] nằm trong \[\left( {ABCD} \right)\] và \[AC\parallel \left( \alpha  \right)\]

nên giao tuyến của 2 mp là đường thẳng qua \[D\] và song song với \[AC\], cắt \[BC\] tại \[P\]

Tứ giác \[ACPD\] là hình bình hành nên \[CP = AD = BC\]

Vì \[M,P,K\] đều là điểm chung của \[\left( \alpha  \right)\] và \[\left( {SBC} \right)\] nên \[M,P,K\] thẳng hàng

Tam giác \[SBP\] có 2 trung tuyến \[SC,\,MP\] nên \[K\] là trọng tâm tam giác \[SBP\].