(1,5 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(SA,\,AD,\,BC\).

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {CMN} \right)\).

b) Chứng minh đường thẳng \(MN\) song song với mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).

c) Xác định \(K\) là giao điểm của đường thẳng \(MP\) và mặt phẳng \(\left( {SBN} \right)\). Tính tỷ số \(\frac{{MK}}{{KP}}\).

a) Ta có

 \(\left. \begin{array}{l}M \in \left( {CMN} \right)\\M \in SA \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {CMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\,\,\left( 1 \right)\)

Trong mp\(\left( {ABCD} \right)\) kéo dài \(CN \cap AB \equiv E\)

\( \Rightarrow \left. \begin{array}{l}E \in CN \subset \left( {CMN} \right)\\E \in AB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow E \in \left( {CMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có \(\left( {CMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\, = ME\)

Hay \(\left( {CMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\, = MF\,\,\left( {F = EM \cap SB} \right)\)

b) Ta có:

 \(\left. \begin{array}{l}MN \not\subset \left( {SCD} \right)\\MN{\rm{//}}SD\\SD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MN{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\)

c) Ta có trong \(\left( {ABCD} \right):AP \cap BN \equiv L\)\( \Rightarrow L\) là trung điểm của \(AP\)

Trong \(\left( {SAP} \right):SL \cap MP \equiv K\)

\( \Rightarrow K\)là trọng tâm tam giác \(SAP\)

\( \Rightarrow \frac{{MK}}{{KP}} = \frac{1}{2}\)