PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Cho \[\tan \alpha = 2\] và \[0 < \alpha < \frac{\pi }{2}.\]Tính:

a) \[\sin \alpha ,\cos \alpha ,\cot \alpha .\]

b) \[\cos \left( {\alpha  - \frac{\pi }{3}} \right).\]

a) \[\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{2}.\]

\[1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{1}{{1 + {2^2}}} = \frac{1}{5}.\]

\[ \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\] hoặc \[\cos \alpha  =  - \frac{1}{{\sqrt 5 }}\].

Vì \[0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\] nên điểm biểu diễn của góc \[\alpha \] trên đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ nhất, do đó \[\cos \alpha  > 0.\] Suy ra \[\cos \alpha  = \frac{1}{{\sqrt 5 }}.\]

\[\sin \alpha  = \tan \alpha .\cos \alpha  = 2.\frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}.\]   

b) \[\tan \left( {\alpha  - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\tan \alpha  - \tan \frac{\pi }{3}}}{{1 + \tan \alpha .\tan \frac{\pi }{3}}} = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{{1 + 2\sqrt 3 }} = \frac{{ - 8 + 5\sqrt 3 }}{{11}}.\]