Biết rằng \(\lim \left( {\frac{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^n} - {2^{n + 1}} + 1}}{{{{5.2}^n} + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^{n + 1}} - 3}} + \frac{{2{n^2} + 3}}{{{n^2} - 1}}} \right) = \frac{{a\sqrt 5 }}{b} + c\) với \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Z}.\) Tính giá trị của biểu thức \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}.\)     

 

Chọn B

\(\lim \left( {\frac{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^n} - {2^{n + 1}} + 1}}{{{{5.2}^n} + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^{n + 1}} - 3}} + + \frac{{2{n^2} + 3}}{{{n^2} - 1}}} \right) = \lim \left( {\frac{{1 - 2.{{\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)}^n} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)}^n}}}{{5.{{\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)}^n} + \sqrt 5 - .{{\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)}^n}}} + \frac{{2 + \frac{3}{{{n^2}}}}}{{1 - \frac{1}{{{n^2}}}}}} \right)\)

\( = \frac{1}{{\sqrt 5 }} + 2 = \frac{{\sqrt 5 }}{5} + 2.\) Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 5\\c = 2\end{array} \right..\)

Vậy \(S = {1^2} + {5^2} + {2^2} = 30.\)