Câu hỏi:

02/12/2025 24

Cho đường thẳng $d$ và hai điểm $A\,,\,\,B$ nằm cùng về một phía của $d$ và $AB$ không song song và không vuông góc với $d$. Một điểm $H$ di động trên $d$. Tìm vị trí của $H$ sao cho $\left| {HA - HB} \right|$ là

a) nhỏ nhất; b) lớn nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập Giữa kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho đường thẳng $d$ và hai điểm $A\,,\,\,B$ nằm (ảnh 1)$

a) Ta có $\left| {HA - HB} \right|$ ≥ 0 với điểm $H$ tùy ý và $\left| {HA - HB} \right|$ = 0.

Vị trí điểm $H$ mà \[HA = HB\], tức là chỉ với các điểm $H$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Mặt khác, $H$ phải thuộc $d$ nên $H$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và đường trung trực của đoạn thẳng $AB$. Có giao điểm này vì $AB$ không vuông góc với $d$.

Tóm lại: Khi $H$ là giao điểm của $d$ và đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ thì \[\left| {MA - MB} \right|\] đạt giá trị nhỏ nhất và bằng 0.

$Cho đường thẳng $d$ và hai điểm $A\,,\,\,B$ nằm (ảnh 2)$

Vì $AB$ không song song với $d$ nên $AB$ cắt $d$ tại \[N\].

Với điểm $H$ bất kỳ thuộc $d$ mà $H$ không trùng với \[N\] thì ta có tam giác \[HAB\].

Theo hệ quả bất đẳng thức tam giác, ta có: $\left| {HA - HB} \right| < AB$.

Khi \[H \equiv N\] thì $\left| {HA - HB} \right| = AB$.

Vậy \[\left| {MA - MB} \right|\] lớn nhất là bằng $AB$, khi đó \[M \equiv N\] là giao điểm của hai đường thẳng $d$ và $AB$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác $ABC$, gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $D$ sao cho $MA = MD$. Chứng minh rằng:

a) $\Delta ABM = \Delta DCM$;

b) $AB\,{\rm{//}}\,CD$;

c) $AM < \frac{{AB + AC}}{2}$.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABM$ và $\Delta DCM$ có

$MA = MD$ (giả thiết)

$MB = MC$ (vì \[M\] là trung điểm)

$\widehat {ABM} = \widehat {CMD}$ (đối đỉnh)

Do đó $\Delta ABM = \Delta DCM$ (c.g.c)

b) Từ câu a: $\Delta ABM = \Delta DCM$.

Suy ra $\widehat {BAM} = \widehat {MDC}$.

Nên $AB\,{\rm{//}}\,CD$ (hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau).

$Cho tam giác $ABC$, gọi $M$ là (ảnh 1)$

c) Xét bất đẳng thức trong tam giác \[ACD\] có $AD < AC + CD$.

Từ $\Delta ABM = \Delta DCM$ suy ra $AB = CD$ (hai cạnh tương ứng)

Do đó $AD < AC + AB$ nên $\frac{{AD}}{2} < \frac{{AB + AC}}{2}$.

Vậy $AM < \frac{{AB + AC}}{2}$.

Câu 2

Cho $a$, $b$, $c$ là ba số khác 0 thỏa mãn: $\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ca}}{{c + a}}$ (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa). Tính giá trị của biểu thức $M = \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Theo bài ra, ta có: $\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ca}}{{c + a}}$;

$\frac{{a + b}}{{ab}} = \frac{{b + c}}{{bc}} = \frac{{c + a}}{{ca}}$;

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$.

Suy ra $\frac{1}{a} = \frac{1}{c}$; $\frac{1}{b} = \frac{1}{a}$ hay $a = b = c$.

Với $a$, $b$, $c$ là ba số khác 0, thay $b = a$; $c = a$ vào biểu thức $M$, ta được:

$M = \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = \frac{{{a^2} + {a^2} + {a^2}}}{{{a^2} + {a^2} + {a^2}}} = \frac{{3{a^2}}}{{3{a^2}}} = 1$.

Vậy $M = 1$.

Câu 3