Câu hỏi:

02/12/2025 144

Cho đường thẳng $d$ và hai điểm $A\,,\,\,B$ nằm cùng về một phía của $d$ và $AB$ không song song và không vuông góc với $d$. Một điểm $H$ di động trên $d$. Tìm vị trí của $H$ sao cho $\left| {HA - HB} \right|$ là

a) nhỏ nhất; b) lớn nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập Giữa kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho đường thẳng $d$ và hai điểm $A\,,\,\,B$ nằm (ảnh 1)$

a) Ta có $\left| {HA - HB} \right|$ ≥ 0 với điểm $H$ tùy ý và $\left| {HA - HB} \right|$ = 0.

Vị trí điểm $H$ mà \[HA = HB\], tức là chỉ với các điểm $H$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Mặt khác, $H$ phải thuộc $d$ nên $H$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và đường trung trực của đoạn thẳng $AB$. Có giao điểm này vì $AB$ không vuông góc với $d$.

Tóm lại: Khi $H$ là giao điểm của $d$ và đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ thì \[\left| {MA - MB} \right|\] đạt giá trị nhỏ nhất và bằng 0.

$Cho đường thẳng $d$ và hai điểm $A\,,\,\,B$ nằm (ảnh 2)$

Vì $AB$ không song song với $d$ nên $AB$ cắt $d$ tại \[N\].

Với điểm $H$ bất kỳ thuộc $d$ mà $H$ không trùng với \[N\] thì ta có tam giác \[HAB\].

Theo hệ quả bất đẳng thức tam giác, ta có: $\left| {HA - HB} \right| < AB$.

Khi \[H \equiv N\] thì $\left| {HA - HB} \right| = AB$.

Vậy \[\left| {MA - MB} \right|\] lớn nhất là bằng $AB$, khi đó \[M \equiv N\] là giao điểm của hai đường thẳng $d$ và $AB$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $E$ sao cho $BE = BA$, trên tia $BA$ lấy điểm $F$ sao cho $BF = BC$. Kẻ $BD$ là phân giác của $\widehat {ABC}\,\,\left( {D \in AC} \right)$. Chứng minh rằng:

a) $DE \bot BC$;

b) $AD < DC$;

c) $\Delta ADF = \Delta EDC.$

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABD$ và \[\Delta EBD\] có

$BE = BA$ (gt); $\widehat {ABD} = \widehat {EBD}$ (vì $BD$ là tia phân giác $\widehat {ABE}$); cạnh $BD$ chung.

Do đó $\Delta ABD = \Delta EBD$ (c.g.c).

Suy ra $\widehat {BAD} = \widehat {BED} = 90^\circ $ nên $DE \bot BC$.

b) Xét tam giác \[ECD\] vuông tại \[E\] nên cạnh huyền \[DC > DE\].

Mà \[DE = AD\] (vì $\Delta ABD = \Delta EBD$) nên $AD < DC.$

c) Ta có $BF = BC$ mà $BE = BA$ nên $AF = EC$.

Xét \[\Delta ADF\] và \[\Delta EDC\] có:

$AF = EC$ (cmt);

\[\widehat {DAF} = \widehat {DEC} = 90^\circ \];

$$AD = DE$ (vì \(\Delta ABD = \Del (ảnh 1)$

$AD = DE$ (vì $\Delta ABD = \Delta EBD$);

Do đó \[\Delta ADF = \Delta EDC\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\].

Câu 2

Cho tam giác $ABC$. Gọi $E,\,\,F$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $AB,\,\,AC.$ Trên tia đối của tia $FB$ lấy điểm $P$ sao cho $PF = BF$. Trên tia đối của tia $EC$ lấy điểm $Q$ sao cho $QE = CE$.

a) Chứng minh: $\Delta AQE = \Delta BCE\,,\,\,\Delta APF = \Delta CBF$, từ đó suy ra $AP = AQ$.

b) Chứng minh ba điểm $P,\,\,A\,,\,\,Q$ thẳng hàng.

c) Chứng minh $BQ\,\,{\rm{//}}\,AC$ và $CP\,{\rm{//}}\,AB$.

d) Gọi $R$ là giao điểm của hai đường thẳng $PC$ và $QB$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $AR\,,\,\,BP\,,\,\,CQ$ đồng quy.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho tam giác $ABC$. Gọi $E,\,\,F$ theo thứ (ảnh 1)$

a) • Xét $\Delta AQE$ và $\Delta BCE$ có:

$AE = BE$ (vì $E$ là trung điểm của $AB$)

\[\widehat {AEQ} = \widehat {BEP}\] (hai góc đối đỉnh)

$QE = CE$ (gt)

Do đó $\Delta AQE = \Delta BCE\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}$.

Suy ra \[AQ = BC\] (hai cạnh tương ứng) (1)

• Xét $\Delta APF$ và $\Delta CBF$ có

$PF = BF$ (gt)

\[\widehat {AFP} = \widehat {BFC}\] (hai góc đối đỉnh)

$AE = BE$ (vì $F$ là trung điểm của $AC$)

Do đó \[\Delta APF = \Delta CBF\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\].

Suy ra \[AP = BC\] (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[AP = AQ\].

b) Ta có $\widehat {QAB} = \widehat {ABC}\,;\,\,\widehat {PAC} = \widehat {ACB}$ (các cặp góc tương ứng của tam giác bằng nhau)

Xét tam giác $ABC$ có \[\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \] (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \[\widehat {QAB} + \widehat {BAC} + \widehat {PAC} = \widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \].

Do đó, ba điểm $P,\,\,A\,,\,\,Q$ thẳng hàng.

c) Ta có $\widehat {QAB} = \widehat {ABC}\,;\,\,\widehat {PAC} = \widehat {ACB}$ (cmt)

Suy ra $BQ\,{\rm{//}}\,AC$ và $CP\,{\rm{//}}\,AB$ (các cặp góc so le trong).

d) Ba đường thẳng $AR\,,\,\,BP\,,\,\,CQ$ là ba đường trung tuyến của tam giác \[QRP\] nên đồng quy.

Câu 3