Cho đường thẳng $d$ và hai điểm $A\,,\,\,B$ nằm cùng về một phía của $d$ và $AB$ không song song và không vuông góc với $d$. Một điểm $H$ di động trên $d$. Tìm vị trí của $H$ sao cho $\left| {HA - HB} \right|$ là

a) nhỏ nhất; b) lớn nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập Giữa kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho đường thẳng $d$ và hai điểm $A\,,\,\,B$ nằm (ảnh 1)$

a) Ta có $\left| {HA - HB} \right|$ ≥ 0 với điểm $H$ tùy ý và $\left| {HA - HB} \right|$ = 0.

Vị trí điểm $H$ mà \[HA = HB\], tức là chỉ với các điểm $H$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Mặt khác, $H$ phải thuộc $d$ nên $H$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và đường trung trực của đoạn thẳng $AB$. Có giao điểm này vì $AB$ không vuông góc với $d$.

Tóm lại: Khi $H$ là giao điểm của $d$ và đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ thì \[\left| {MA - MB} \right|\] đạt giá trị nhỏ nhất và bằng 0.

$Cho đường thẳng $d$ và hai điểm $A\,,\,\,B$ nằm (ảnh 2)$

Vì $AB$ không song song với $d$ nên $AB$ cắt $d$ tại \[N\].

Với điểm $H$ bất kỳ thuộc $d$ mà $H$ không trùng với \[N\] thì ta có tam giác \[HAB\].

Theo hệ quả bất đẳng thức tam giác, ta có: $\left| {HA - HB} \right| < AB$.

Khi \[H \equiv N\] thì $\left| {HA - HB} \right| = AB$.

Vậy \[\left| {MA - MB} \right|\] lớn nhất là bằng $AB$, khi đó \[M \equiv N\] là giao điểm của hai đường thẳng $d$ và $AB$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Ba đội công nhân làm ba khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày. Hỏi đội thứ ba hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày? Biết rằng tổng số người của đội một và đội hai gấp năm lần số người của đội ba.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Gọi số người đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba lần lượt là \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\] (người).

Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày nên $4a = 6b$ hay $\frac{a}{3} = \frac{b}{2}$.

Tổng số người của đội thứ nhất và đội thứ hai gấp năm lần số người của đội ba nên $a + b = 5c$.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{a}{3} = \frac{b}{2} = \frac{{a + b}}{{3 + 2}} = \frac{{5c}}{5} = c$ hay $\frac{a}{3} = \frac{b}{2} = c$. Do đó $4a = 6b = 12c$.

Vậy đội thứ 3 hoàn thành công việc trong 12 ngày.

Câu 2

Cho $a$, $b$, $c$ là ba số khác 0 thỏa mãn: $\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ca}}{{c + a}}$ (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa). Tính giá trị của biểu thức $M = \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Theo bài ra, ta có: $\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ca}}{{c + a}}$;

$\frac{{a + b}}{{ab}} = \frac{{b + c}}{{bc}} = \frac{{c + a}}{{ca}}$;

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$.

Suy ra $\frac{1}{a} = \frac{1}{c}$; $\frac{1}{b} = \frac{1}{a}$ hay $a = b = c$.

Với $a$, $b$, $c$ là ba số khác 0, thay $b = a$; $c = a$ vào biểu thức $M$, ta được:

$M = \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = \frac{{{a^2} + {a^2} + {a^2}}}{{{a^2} + {a^2} + {a^2}}} = \frac{{3{a^2}}}{{3{a^2}}} = 1$.

Vậy $M = 1$.

Câu 3