Hai xe ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm \(A\) và \(B\), đi ngược chiều nhau trên cùng một tuyến đường. Đến điểm gặp nhau, xe thứ hai đi được quãng đường dài hơn xe thứ nhất là \(20{\rm{ km}}{\rm{.}}\) Biết rằng nếu đi hết quãng đường \(AB,\) xe thứ nhất đi hết 4 giờ 15 phút, xe thứ hai đi hết 3 giờ 45 phút. Tính độ dài quãng đường \(AB\).

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba lần lượt là \(a;\,\,b;\,\,c\) (học sinh) \(\left( {a,\,b,\,c\, \in {\mathbb{N}^*},\,\,a,\,b,\,c < 52} \right)\).

Vì lớp 7A có 52 học sinh được chia làm ba tổ nên ta có: \(a + b + c = 52\) (1).

Số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba sau khi thêm bớt lần lượt là \(a - 1,\,\,b - 2,\,\,c + 3\) (học sinh).

Vì tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba thêm vào 3 học sinh thì số học sinh của tổ một, tổ hai, tổ ba tỉ lệ nghịch với \(3;\,\,4;\,\,2\) do đó, ta có \(3\left( {a - 1} \right) = 4\left( {a - 2} \right) = 2\left( {c + 3} \right)\).

Suy ra \(\frac{{a - 1}}{4} = \frac{{b - 2}}{3} = \frac{{c + 3}}{6}\)   (2)

Từ (1) và (2) áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{a - 1}}{4} = \frac{{b - 2}}{3} = \frac{{c + 3}}{6} = \frac{{a - 1 + b - 2 + c + 3}}{{4 + 3 + 6}} = \frac{{52}}{{13}} = 4\)

Suy ra \(a - 1 = 16;\,\,b - 2 = 12;\,\,c + 3 = 24\).

Do đó, \(a = 17;\,\,b = 14;\,\,c = 21\).

Vậy số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba của lớp 7A lần lượt là 17 học sinh; 14 học sinh và 21 học sinh.

Hướng dẫn giải

Gọi tổng số vở ba lớp 7A, 7B, 7C nhận được là \[x\] \[\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\].

Gọi số vở dự định chia cho ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là \(a,b,c\).

Theo đề, ban đầu chia vở cho ba lớp theo tỉ lệ \(7;6;5\) nên ta có:

\(\frac{a}{7} = \frac{b}{6} = \frac{c}{5} = \frac{{a + b + c}}{{7 + 6 + 5}} = \frac{x}{{18}}\).

Suy ra \(a = \frac{{7x}}{{18}};b = \frac{{6x}}{{18}};c = \frac{{5x}}{{18}}\) (1)

Gọi số vở chia cho ba lớp 7A, 7B, 7C sau khi thay đổi là \(a',b',c'\). Ta có:

\(\frac{{a'}}{6} = \frac{{b'}}{5} = \frac{{c'}}{4} = \frac{{a' + b' + c'}}{{6 + 5 + 4}} = \frac{x}{{15}}\)

Suy ra \(a' = \frac{{6x}}{{15}};b' = \frac{{5x}}{{15}};c' = \frac{{4x}}{{15}}\) (2)

So sánh (1) và (2) nhận thấy \(a < a';b = b',c > c'\).

Do đó, lớp nhận được ít hơn 12 quyển là lớp 7C.

Suy tra \(\frac{{5x}}{{18}} - \frac{{4x}}{{15}} = 12\) hay \(\frac{x}{{90}} = 12\) nên \(x = 1080\) (quyển).

Số vở lớp 7A nhận trong thực tế là: \(a' = \frac{{6x}}{{15}} = \frac{{6.1080}}{{15}} = 432\) (quyển)

Số vở lớp 7B nhận trong thực tế là: \(b' = \frac{{5x}}{{15}} = \frac{{5.1080}}{{15}} = 360\) (quyển)

Số vở lớp 7C nhận trong thực tế là: \(c' = \frac{{4x}}{{15}} = \frac{{4.1080}}{{15}} = 288\) (quyển)

Vậy trong thực tế ba lớp 7A, 7B, 7C nhận được lần lượt 432 quyển, 360 quyển và 288 quyển.