Biết \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {3x + 1} - 1}}{x} = \frac{a}{b}\], trong đó \(a\), \[I = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {{{\tan }^5}x{\rm{d}}x = } } \int {\frac{{{{\sin }^5}x}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^5}x}}{\rm{d}}x} \] là các số nguyên dương và phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính giá trị biểu thức \(P = {a^2} + {b^2}\).

Gọi u_n là diện tích hai tam giác được tô màu ở lần thực hiện thứ n.

Hai tam giác được tạo thành là các tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông bằng \(\frac{1}{2}\) độ dài của hình vuông trước mỗi lần chia.

Ở lần 1 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là \(8\) nên \({u_1} = 2.\frac{1}{2}{\left( 8 \right)^2} = 64\) và độ dài cạnh hình vuông sau đó là \(\sqrt {{{\left( 8 \right)}^2} + {{\left( 8 \right)}^2}} = 8\sqrt 2 \) (sử dụng định lí Pythagore).

Ở lần 2 thì độ dài cạnh tam giác là \(\frac{{8\sqrt 2 }}{2} = 4\sqrt 2 \)nên \({u_2} = 2.\frac{1}{2}{\left( {4\sqrt 2 } \right)^2} = 32\)

Cứ tiếp tục như vậy, ta được dãy số (u_n) là cấp số nhân với \({u_1} = 64\)và công bội \(q = \frac{1}{2}\)

Vậy tổng diện tích sau năm lần thực hiện là \({S_5} = \frac{{{u_1}(1 - {q^5})}}{{1 - q}} = \frac{{64\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^5}} \right)}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 124(c{m^2})\)