Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB,SD;\) \(K\) là giao điểm của mặt phẳng \((AMN)\) và đường thẳng \(SC.\) Tỉ số \(\frac{{SK}}{{SC}}\) bằng

Chọn B

Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo hình bình hành \(ABCD\). 

Trong mặt phẳng\[\left( {SBD} \right)\], \[SO\]cắt \[MN\]tại \[J.\]

Trong mặt phẳng\[\left( {SAC} \right)\], \(AJ\) cắt\[SC\] tại\(K\) 

Vì \(J\) thuộc \[MN\] nên \(J\) thuộc mặt phẳng \[\left( {AMN} \right)\]và do đó \(K\)là giao điểm của \[\left( {AMN} \right)\]và đường thẳng\[SC\].

Tam giác \[SBD\]có \[M,{\rm{ }}N\]lần lượt là trung điểm của các cạnh \[SB,{\rm{ }}SD\]nên \[MN\]là đường trung bình của tam giác \[SBD\], suy ra \[MN{\rm{ }}//{\rm{ }}BD\] hay\[NJ{\rm{ }}//{\rm{ }}DO\].

Xét tam giác \[SDO\]có \[NJ{\rm{ }}//{\rm{ }}DO\]và N là trung điểm của SD nên suy ra J là trung điểm của\[SO\].

Trong mặt phẳng \[\left( {SAC} \right),\]từ O kẻ OE song song với AK (E thuộc SC).

Xét tam giác \[SOE\]có \[JK{\rm{ }}//{\rm{ }}OE\] (do\[AK{\rm{ }}//{\rm{ }}OE\]), theo định lí Thalés ta có: \(\frac{{SK}}{{SE}} = \frac{{SJ}}{{SO}} = \frac{1}{2}\)

Do đó, K là trung điểm của SE.

Xét tam giác \[CAK\]có\[OE{\rm{ }}//{\rm{ }}AK\], theo định lí Thalés ta có: \(\frac{{CE}}{{CK}} = \frac{{CO}}{{CA}} = \frac{1}{2}\)

Do đó, E là trung điểm của CK.

Vậy\[SK = KE = CE\], suy ra  \(\frac{{SK}}{{SC}} = \frac{1}{3}\)