Ông An gửi tiết kiệm với số tiền gửi ban đầu là 100 triệu, lãi suất 8,4%/năm theo hình thức lãi kép, kì hạn 1 năm. Giả định lãi suất ngân hàng không thay đổi trong những năm ông An gửi. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm ông An thu được cả vốn lẫn lãi là ít nhất 300 triệu?

Ta có \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {2x - 4y + 3} \right) \ge 1\)\( \Leftrightarrow 2x - 4y + 3 \ge {x^2} + {y^2} + 2\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} \le 6\) là hình tròn (C) tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 6 \).

Ta lại có \(P = 3x + 4y \Rightarrow 3x + 4y - P = 0\) là phương trình đường thẳng d.

Để tồn tại cặp số \(x,y\) sao cho \(P\) đạt giá trị lớn nhất thì đường thẳng \(d\) và đường tròn \(\left( C \right)\) phải có điểm chung.

Khi đó \(d\left( {I,\left( d \right)} \right) \le R \Leftrightarrow \frac{{\left| {3 - 8 - P} \right|}}{5} \le \sqrt 6 \)\( \Leftrightarrow \left| {P + 5} \right| \le 5\sqrt 6 \)\( \Leftrightarrow  - 5\sqrt 6  \le P + 5 \le 5\sqrt 6 \)

\( \Leftrightarrow  - 5\sqrt 6  - 5 \le P \le 5\sqrt 6  - 5\).

Do đó \({P_{\max }} = 5\sqrt 6  - 5 \Rightarrow M = 6;m =  - 5\).

Vậy \(M + m = 6 + \left( { - 5} \right) = 1\).

Trả lời: 1.

a) Điều kiện \(2x + 3 > 0 \Leftrightarrow x >  - \frac{3}{2}\).

Tập xác định của hàm số \(D = \left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)\).

b) \(f\left( x \right) = 1\) \( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x + 3} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow 2x + 3 = 3\)\( \Leftrightarrow x = 0\).

c) Ta có \(f\left( x \right) < 2 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x + 3} \right) < 2\)\( \Leftrightarrow 2x + 3 < 9\)\( \Leftrightarrow x < 3\).

Kết hợp với điều kiện ta có \(S = \left( { - \frac{3}{2};3} \right)\), mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}\).

Vậy có 4 giá trị nguyên của \(x\) để \(f\left( x \right) < 2\).

d) Vì hàm số \(y = f\left( x \right) = {\log _3}\left( {2x + 3} \right)\) đồng biến trên \(\left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)\) nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 1;\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = 2\).

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;3} \right]\) là 3.

Đáp án: a) Sai;      b) Đúng;      c) Sai;       d) Đúng.