Cho  \[{a_1};{\rm{ }}{a_2};{\rm{ }}{a_3};{\rm{ }} \ldots ;{\rm{ }}{a_{2023}};{\rm{ }}{a_{2024}}\] là 2024 số thực thỏa mãn \({a_k} = \frac{{2k + 1}}{{{{\left( {{k^2} + k} \right)}^2}}}\) với \[k \in \left\{ {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;{\rm{ }} \ldots ;{\rm{ }}2024} \right\}.\] Tính tổng \[{S_{2024}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} +  \ldots  + {a_{2024}}.\]

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(M = \frac{{14}}{{{x^2} - 2x + 4}} = \frac{{14}}{{\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 3}} = \frac{{14}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 3}}.\)

Với mọi \(x,\) ta luôn có \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {x - 1} \right)^2} + 3 \ge 0\)

Suy ra \(\frac{{14}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 3}} \le \frac{{14}}{3},\) hay \(M \le \frac{{14}}{3}.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x - 1} \right)^2} = 0,\) tức là \(x = 1.\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(M\) là \(\frac{{14}}{3}\) tại \(x = 1.\)

b) Ta có \(N = \frac{{11}}{{12 - 4x - {x^2}}} = \frac{{11}}{{ - \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + 16}} = \frac{{11}}{{ - {{\left( {x + 2} \right)}^2} + 16}}.\)

Với mọi \(x,\) ta luôn có \({\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0\) nên \( - {\left( {x + 2} \right)^2} + 16 \le 16\)

Suy ra \(\frac{{11}}{{ - {{\left( {x + 2} \right)}^2} + 16}} \ge \frac{{11}}{{16}},\) hay \(N \ge \frac{{11}}{{16}}.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x + 2} \right)^2} = 0,\) tức là \(x =  - 2.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(N\) là \(\frac{{11}}{{16}}\) tại \(x =  - 2.\)

Hướng dẫn giải

Với \[x \ne --y;\] \[y \ne --z;\] \[z \ne --x,\] ta có:

\(A = \frac{{{x^2} - yz}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}} + \frac{{{y^2} - xz}}{{\left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right)}} + \frac{{{z^2} - xy}}{{\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {{x^2} - yz} \right)\left( {y + z} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}} + \frac{{\left( {{y^2} - xz} \right)\left( {z + x} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}} + \frac{{\left( {{z^2} - xy} \right)\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2}y + {x^2}z - {y^2}z - y{z^2} + {y^2}z + x{y^2} - x{z^2} - {x^2}z + {z^2}x + {z^2}y - {x^2}y - x{y^2}}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}\)

\( = \frac{0}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}} = 0.\)

Vậy \(A = 0.\)