Hải đăng Đá Lát là một trong bảy ngọn hải đăng cao nhất Việt Nam được đặt trên đảo Đá Lát ở vị trí cực Tây quần đảo thuộc xã đảo Trường Sa, huyện Trường Sa, tỉnh Khánh Hòa. Ngọn hải đăng được xây dựng năm 1994 cao 42 m, có tác dụng chỉ vị trí đảo, giúp quan sát qàu thuyền hoạt động trong vùng biển Trường Sa, định hướng và xác định vị trí của mình. Một người cao \(1,65\,\,{\rm{m}}\) đamg đứng trên ngọn hải đăng quan sát hai lần một chiếc tàu. Lần thứ nhất người đó nhìn thấy chiếc tàu với góc hạ \[30^\circ ,\] lần thứ hai người đó nhìn thấy chiếc tàu với góc hạ \[60^\circ .\]

Biết hai vị trí được quan sát của tàu và chân hải đăng là ba điểm thẳng hàng. Hỏi sau hai lần quan sát, tàu đã chạy được bao nhiêu mét? (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Hướng dẫn giải

Gọi \[x\] (nghìn đồng) là giá phòng khách sạn cần đặt ra (\[x > 400\]).

Thì giá chênh lệch sau khi tăng là: \[x - 400\] (nghìn đồng).

Số phòng cho thuê giảm đi nếu giá \[x\] nghìn đồng/ngày là: \[\frac{{\left( {x - 400} \right) \cdot 2}}{{20}} = \frac{{x - 400}}{{10}}\] (phòng).

Số phòng cho thuê với giá \[x\] nghìn đồng/ngày là: \[50 - \frac{{x - 400}}{{10}} = 90 - \frac{x}{{10}}\] (phòng).

Tổng doanh thu trong 1 ngày là: \[f\left( x \right) = x\left( {90 - \frac{x}{{10}}} \right) = \frac{{ - {x^2}}}{{10}} + 90x\].

Suy ra \[f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 900x}}{{10}} = \frac{{ - {{\left( {x - 450} \right)}^2} - 202\,500}}{{10}} = \frac{{ - {{\left( {x - 450} \right)}^2}}}{{10}} - 20\,250 \le 20\,250\].

Dấu “=” xảy ra khi \[x = 450\].

Vậy nếu cho thuê phòng với giá 450 nghìn đồng/ngày thì doanh thu trong một ngày lớn nhất đạt \[20\,250\,000\] đồng.

Hướng dẫn giải

Đặt tên các đỉnh như hình vẽ. Đặt \[CJ = x\,\,\left( {{\rm{m}},\,x > 0} \right)\].

Chứng minh được tam giác \[AJC\] và \[BKA\] là hai tam giác đồng dạng nên

\[\frac{{CJ}}{{AK}} = \frac{{JA}}{{KB}}\] hay \[\frac{x}{5} = \frac{{12}}{{KB}}\] do đó \[KB = \frac{{60}}{x}\].

Diện tích của khu nuôi cá là \[S\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {x + 5} \right)\left( {\frac{{60}}{x} + 12} \right)\]

                                              \[S\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {60 + 12x + \frac{{300}}{x} + 60} \right)\]

\[S\left( x \right) = 6x + \frac{{150}}{x} + 60 = 6\left( {x + \frac{{25}}{x} + 10} \right) = 6\left( {\frac{{{x^2} - 10x + 25}}{x} + 20} \right) = 6\left[ {\frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{x} + 20} \right] \ge 120\].

Dấu “=” xảy ra khi \[x - 5 = 0\] nên \[x = 5.\]

Vậy diện tích nhỏ nhất có thể giăng là \[120\,\,{{\rm{m}}^2},\] đạt được khi \[x = 5\;\left( {\rm{m}} \right)\].