Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\) có đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\); \(y = g\left( x \right) = 1 - 2x\) có đồ thị \(\left( {{C_2}} \right)\).

a) Điều kiện \(\frac{x}{{x + 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 0\end{array} \right.\).

Tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).

b) Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {\frac{x}{{x + 1}}} \right)}^\prime }}}{{\frac{x}{{x + 1}}}} = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \cdot \frac{{x + 1}}{x} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{{x^2} + x}}\).

c) \(y'\left( 3 \right) = \frac{1}{{{3^2} + 3}} = \frac{1}{{12}}\).

d) Có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + x}} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).

Do đó \(T = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + ... + f'\left( {2025} \right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2025}} - \frac{1}{{2026}}\)\( = 1 - \frac{1}{{2026}} = \frac{{2025}}{{2026}}\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Sai;      c) Sai;       d) Đúng.

a) Điều kiện \(x \ne 1\).

Do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

b) Ta có \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 là \(y'\left( 2 \right) = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {2 - 1} \right)}^2}}} = - 1\).

Với \(x = 2 \Rightarrow y = 2\).

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = - \left( {x - 2} \right) + 2 = - x + 4\).

c) Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(y = - x\) nên $\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}=-1\iff {\left(x-1\right)}^2=1\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}\right.$

Với \(x = 0 \Rightarrow y = 0\). Khi đó tiếp tuyến trùng với đường thẳng \(y = - x\) (loại).

Với \(x = 2 \Rightarrow y = 2\) thì tiếp tuyến là \(y = - x + 4\) (theo câu b).

d) Có \(f''\left( x \right) = \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\). Khi đó \(f''\left( 3 \right) = \frac{2}{{{{\left( {3 - 1} \right)}^3}}} = \frac{1}{4}\).

Đáp án: a) Sai;      b) Đúng;      c) Sai;       d) Đúng.