Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình thang có đáy lớn \(BC = 2a,AD = a,AB = b.\) Mặt bên \(SAD\) là tam giác đều. Gọi \[P,\,Q\] lần lượt là trung điểm các cạnh \(SB,SC\).

a. Chứng minh \(PQ//\left( {SAD} \right)\).

b. Gọi \(M\) thuộc cạnh \(AB\), đặt \(AM = x\,\left( {0 < x < b} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \[M\], song song với \[SA\] và \(BC\), cắt hình chóp theo một thiết diện. Tìm \(x\) để diện tích thiết diện là lớn nhất.

a.

Ta có \[PQ\] là đường trung bình \(\Delta SBC\) suy ra \[PQ\parallel BC\] mà \[BC\parallel AD\] (tính chất hình thang)

nên \[PQ\parallel AD\] hay \[PQ\parallel \left( {SAD} \right)\].

b.

Dựng thiết diện:

Gọi \(N = \left( \alpha \right) \cap CD\) . Vì \(\left( \alpha \right)//BC\) nên \(MN//BC\).

Gọi \(E = \left( \alpha \right) \cap SB\). Vì \[\left( \alpha \right)//SA\] nên \(ME//SA\).

Gọi \(F = \left( \alpha \right) \cap SC\). Vì \(\left( \alpha \right)//BC\) nên \(FE//BC\).

Vậy thiết diện là hình thang \(MNFE\).

Lại có \(\frac{{CF}}{{CS}} = \frac{{BE}}{{BS}} = \frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{CN}}{{CD}} \Rightarrow FN//SD\) \( \Rightarrow \frac{{FN}}{{SD}} = \frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{ME}}{{SA}};\,SA = SD = a.\)

\( \Rightarrow FN = ME = \frac{{a\left( {b - x} \right)}}{b}\).

Vậy \(MNFE\) là hình thang cân.

Tính diện tích:

Vì \(MN = \frac{{a\left( {b + x} \right)}}{b}\); \(FE = \frac{{2ax}}{b}\) ;\(EM = \frac{{a\left( {b - x} \right)}}{b}\)nên \({S_{MNFE}} = \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{{4{b^2}}}\left( {b - x} \right)\left( {b + 3x} \right)\).

Ta có \(\left( {b - x} \right)\left( {b + 3x} \right) = \frac{1}{3}\left( {3b - 3x} \right)\left( {b + 3x} \right) \le \frac{{4{b^2}}}{3}\).

 \(\max {S_{MNFE}} = \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{3} \Leftrightarrow x = \frac{b}{3}\).