Cho hàm số \(y = x \cdot {e^{4x}}\).

a) Có \(y' = {e^{4x}} + 4x{e^{4x}}\).

Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 1 có hệ số góc \(k = y'\left( 1 \right) = {e^4} + 4{e^4} = 5{e^4}\).

b) \(y' = {e^{4x}} + 4x{e^{4x}}\)\( = {e^{4x}} + 4y\).

c) \(y' = \left( {1 + 4x} \right)\left( {{e^{2x}} + 2} \right)\)\( \Leftrightarrow {e^{4x}} + 4x{e^{4x}} = \left( {1 + 4x} \right)\left( {{e^{2x}} + 2} \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {1 + 4x} \right){e^{4x}} - \left( {1 + 4x} \right)\left( {{e^{2x}} + 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {1 + 4x} \right)\left( {{e^{4x}} - {e^{2x}} + 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 + 4x = 0\\{e^{4x}} - {e^{2x}} + 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{4}\\{e^{4x}} - {e^{2x}} + 2 = 0\left( {VN} \right)\end{array} \right.\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = - \frac{1}{4}\).

Do đó phương trình \(y' = \left( {1 + 4x} \right)\left( {{e^{2x}} + 2} \right)\) có đúng 1 nghiệm âm.

d) \(y'' = {\left( {{e^{4x}} + 4x{e^{4x}}} \right)^\prime } = 4{e^{4x}} + 4{e^{4x}} + 16x{e^{4x}} = \left( {8 + 16x} \right){e^{4x}}\).

Suy ra \(a = 16;b = 8\). Vậy \({a^2} + {b^2} = 320\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Đúng;      c) Sai;       d) Sai.