Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Cho hàm số \(y = \frac{{ax - 1}}{{bx - 1}}\) (trong đó \(a,b\) là các số nguyên và \(a \ne b,b \ne 0\)) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Biết rằng \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\) và tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\) có hệ số góc là một số nguyên dương. Tìm giá trị của biểu thức \(T = a + 5b\).

Vì \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\) nên \(3 = \frac{{a - 1}}{{b - 1}} \Leftrightarrow a - 1 = 3\left( {b - 1} \right) \Leftrightarrow a = 3b - 2\).

Có \(y' = \frac{{ - a + b}}{{{{\left( {bx - 1} \right)}^2}}}\).

Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(A\left( {1;3} \right)\) là \(k = \frac{{ - a + b}}{{{{\left( {b - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3b + 2 + b}}{{{{\left( {b - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{b - 1}}\).

Vì hệ số góc nguyên dương nên \(b - 1\) thuộc vào các ước âm của −2.

Khi đó \(\left[ \begin{array}{l}b - 1 = - 1\\b - 1 = - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b = - 1\end{array} \right.\). Vì \(b \ne 0\) nên \(b = - 1 \Rightarrow a = - 5\).

Do đó \(T = a + 5b = - 5 + 5 \cdot \left( { - 1} \right) = - 10\).

Trả lời: −10.