PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

(0,5 điểm) Một lớp học có 50 học sinh, trong đó có 35 học sinh giỏi toán, 25 học sinh giỏi văn. Biết rằng mỗi học sinh trong lớp đều giỏi ít nhất 1 môn Toán hoặc Văn. Lớp có bao nhiêu học sinh giỏi cả 2 môn Văn và Toán?

Ta có \(\widehat {ACB} = 180^\circ  - 60^\circ  = 120^\circ \).

Xét tam giác \(ABC\), có \(\widehat {BAC} = 180^\circ  - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = 180^\circ  - \left( {30^\circ  + 120^\circ } \right) = 30^\circ \).

Do đó, tam giác \(ABC\) cân tại \(C\).

\( \Rightarrow AC = CB = 100\) m.

Ta có \(\widehat {ACH} = 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ \).

Tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) nên \(AH = AC \cdot \sin \widehat {ACH} = 100 \cdot \sin 30^\circ  = 50\) m.

Vậy chiều cao của ngọn đồi là \(50\) m.

Gọi thời gian để 2 tàu gặp nhau tại \(C\) là \(t\) (giờ, \(t > 0\)).

Quãng đường \(BC\) là \(20t\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Quãng đường \(AC\) là \(30t\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Áp dụng định lí sin cho tam giác \(ABC\), ta có

\[\frac{{BC}}{{\sin \alpha }} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Leftrightarrow \sin \alpha  = \frac{{BC \cdot \sin B}}{{AC}} = \frac{{20t \cdot \sin 124^\circ }}{{30t}} \approx 0,5527 \Rightarrow \alpha  \approx 34^\circ \].

Vậy tàu \(A\) chuyển động theo hướng tạo với vị trí ban đầu của tàu \(B\) một góc \(34^\circ \).

Xét tam giác \(ABC\), ta có \(\widehat C = 180^\circ  - \left( {\widehat B + \widehat A} \right) = 180^\circ  - \left( {124^\circ  + 34^\circ } \right) = 22^\circ \).

Áp dụng định lí sin, ta có

\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow BC = \frac{{AB \cdot \sin A}}{{\sin C}} \Leftrightarrow 20t \approx \frac{{50 \cdot \sin 34^\circ }}{{\sin 22^\circ }} \Leftrightarrow t \approx 3,73\) (giờ).

Vậy sau khoảng \(3,73\) giờ thì tàu \(A\) đuổi kịp tàu \(B\).