(1,5 điểm) Cho biểu thức \(N = \left( {\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{x - 1}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}} \right) \cdot \frac{{x - 1}}{{2 + x}}.\)

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức \(N.\)

b) Rút gọn biểu thức \(N.\)

c) Tính giá trị của biểu thức \(N\) khi \(\left| x \right| = 2.\)

Hướng dẫn giải

1)

a) Do \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(3{\rm{\;m}}{\rm{.}}\)

Do đó, áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\) ta được:

\(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} = {3^2} + {3^3} = 18\)

Suy ra \(BD = \sqrt {18} \approx 4,2{\rm{\;m}}{\rm{.}}\)

b) Gọi \(SM\) là trung đoạn của hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) (hình vẽ).

Khi đó \(\Delta SAD\) cân tại \(S\) có \(SM\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên \(M\) là trung điểm của \(AD.\) Suy ra \(MD = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right).\)

Xét \(\Delta SMD\) vuông tại \(M\) có \(S{D^2} = S{M^2} + M{D^2}\) (định lí Pythagore)

Suy ra \(S{M^2} = S{D^2} - M{D^2} = 3,{5^2} - 1,{5^2} = 10.\)

Do đó \(SM = \sqrt {10} \approx 3,2{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right).\)

Diện tích xung quanh của chiếc lều là:

\({S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot \left( {4AD} \right) \cdot SM \approx \frac{1}{2} \cdot \left( {4 \cdot 3} \right) \cdot 3,2 = 19,2{\rm{\;}}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vậy diện tích vải để làm chiếc lều đó là khoảng \(19,2{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}.\)

2)

a) Ta có \(GF \bot AC\) và \(AB \bot AC\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A)\) nên \(GF\,{\rm{//}}\,AB.\)

Xét tứ giác \(BEIF\) có \(BE\,{\rm{//}}\,FI\) (do \(GF\,{\rm{//}}\,AB)\) và \(EI\,{\rm{//}}\,BF\) nên \(BEIF\) là hình bình hành.

b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AG\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(AG = \frac{1}{2}BC\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Mà \(G\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BG = CG = \frac{1}{2}BC\)

Do đó \(AG = BG = CG = \frac{1}{2}BC.\)

Suy ra \(\Delta ABG\) và \(\Delta ACG\) đều là tam giác cân tại \(G.\)

Xét \(\Delta ABG\) cân tại \(G\) có đường cao \(GE\) nên đồng thời là đường trung tuyến, do đó \(E\) là trung điểm của \[AB\] nên \(BE = AE.\) (1)

Tương tự với \(\Delta ACG\) cân tại \(G\) ta cũng có \(GF\) vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên \(F\) là trung điểm của \(AC.\)

Xét tứ giác \(AEGF\) có:

⦁ \(\widehat {EAF} = 90^\circ \) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A);\)

⦁ \(\widehat {AEG} = 90^\circ \) (do \(GE \bot AB);\)

⦁ \(\widehat {AFG} = 90^\circ \) (do \(GF \bot AC)\)

Do đó tứ giác \(AEGF\) là hình chữ nhật.

Suy ra \(AE = GF\) (2)

Mà \(BEIF\) là hình bình hành nên \(BE = FI\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(GF = FI\) hay \(F\) là trung điểm của \(GI.\)

Xét tứ giác \(AGCI\) có hai đường chéo \(GI\) và \(AC\) cắt nhau tại trung điểm \(F\) của mỗi đường nên \(AGCI\) là hình bình hành.

Lại có \(GI\) vuông góc với \(AC\) nên hình bình hành \(AGCI\) là hình thoi.

Để \(AGCI\) là hình vuông thì \(GI = AC\)

Lại có \(AB = 2AE,GI = 2GF\) và \(AE = GF\)nên \(AB = GI\)

Khi đó ta sẽ có \(AB = AC\) hay \(\Delta ABC\) cân tại \(A.\)

Vậy tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) thì \(AGCI\) là hình vuông.

Hướng dẫn giải

Ta có \(A = x\left( {x - 7} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right) = \left( {{x^2} - 7x} \right)\left( {{x^2} - 7x + 12} \right).\)

Đặt \(t = {x^2} - 7x + 6,\) ta có:

⦁ \({x^2} - 7x = t - 6;\)

⦁ \({x^2} - 7x + 12 = t + 6.\)

Khi đó \(A = \left( {t - 6} \right)\left( {t + 6} \right) = {t^2} - 36.\)

Nhận xét: với mọi \(t\) ta có \({t^2} \ge 0\) nên \({t^2} - 36 \ge - 36\) hay \(A \ge - 36.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({t^2} = 0\) hay \({x^2} - 7x + 6 = 0\)

\[\left( {{x^2} - x} \right) - \left( {6x - 6} \right) = 0\]

\[x\left( {x - 1} \right) - 6\left( {x - 1} \right) = 0\]

\[\left( {x - 1} \right)\left( {x - 6} \right) = 0\]

Suy ra \(x - 1 = 0\) hoặc \(x - 6 = 0\)

\(x = 1\) hoặc \(x = 6\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[A\] bằng \( - 36\) khi \(x \in \left\{ {1;6} \right\}.\)