Cho tứ diện \(ABCD\). Điểm \(I\) thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(IB = 2IA\). Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng qua \(I\) và song song với \(AD\) và \(BC\). Giả sử \(\left( \alpha  \right)\) cắt \(CD\) tại \(M\). Khi đó \(\frac{{DC}}{{MD}}\) bằng bao nhiêu?

a) \(AM \subset \left( {SAC} \right)\).

b) \(S,O\) là hai điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right),\left( {SBD} \right)\). Do đó \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\).

c) Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right),AM \cap SO = I\) mà \(SO \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow AM \cap \left( {SBD} \right) = I\).

d) Trong mặt phẳng\(\left( {SBD} \right)\), qua \(I\) dựng đường thẳng song song với \(BD\) cắt \(SB,SD\) lần lượt tại \(P\) và \(Q\).

Gọi \(N\) là trung điểm của \(OC\).

Theo định lí Ta lét ta có: \(\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{AD}}{{BC}} = 2 \Rightarrow OA = 4ON \Rightarrow \frac{{OI}}{{MN}} = \frac{{AO}}{{AN}} = \frac{4}{5}\).

Lại có \(SO = 2MN = \frac{{10}}{4}IO = \frac{5}{2}IO\) \( \Rightarrow SI = \frac{3}{5}SO \Rightarrow \frac{{SP}}{{SB}} = \frac{{SI}}{{SO}} = \frac{3}{5}\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Đúng;   c) Đúng;   d) Sai.

a) Gọi \(M,H\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB,AD\).

Ta có \(\frac{{MG}}{{GS}} = \frac{{MI}}{{ID}} = \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow GI//SD \Rightarrow GI//\left( {SBD} \right)\).

Vì \(HD = BC\) và \(HD//BC\) nên tứ giác \(BCDH\) là hình bình hành \( \Rightarrow BH//DC\).

Mặt khác \(GI//SD \Rightarrow \left( {BGI} \right)//\left( {SCD} \right)\).

b) Có \(AD//BC\) và \(S = \left( {SBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\) nên giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng này đi qua S và song song với \(AD\).

Kẻ \(ND \cap \Delta  = F\). Do đó \(F = ND \cap \left( {SBC} \right)\).