Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;2;0} \right),B\left( {1;0;2} \right),C\left( {2;1;3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + 2z + 7 = 0\).

a) S, b) Đ, c) S, d) S

a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 1;3} \right),\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 4;2;2} \right) = 2\left( { - 2;1;1} \right)\).

Vậy mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) nhận \(\left( { - 2;1;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

b) Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(A\left( {1;2;0} \right)\) và nhận \(\left( { - 2;1;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là \( - 2\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 2} \right) + z = 0 \Leftrightarrow - 2x + y + z = 0\).

Thay tọa độ điểm \(M\left( {3;1;5} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) ta được:

\( - 2.3 + 1 + 5 = 0\) (đúng). Vậy điểm \(M \in \left( {ABC} \right)\).

c) Ta có \(\overrightarrow {{n_{\left( {ABC} \right)}}} = \left( { - 2;1;1} \right),\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;2} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {{n_{\left( {ABC} \right)}}} .\overrightarrow {{n_P}} = \left( { - 2} \right).1 + 1.\left( { - 1} \right) + 1.2 = - 1 \ne 0\). Do đó mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

d) Có \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2 + 2.0 + 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt 6 }} = \sqrt 6 \).