Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm O. Gọi \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA,SC,SD\).

a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau: \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\); \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\)

b) Chứng minh rằng \(\left( {MNP} \right)\) song song với mặt phẳng (ABCD).

c) Gọi \(E\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(E\) và \(\left( \alpha \right)\) không có điểm chung với mặt phẳng \(\left( {ACP} \right)\). \(K\) là điểm thuộc cạnh \(SA\) sao cho \(\frac{{SK}}{{SA}} = \frac{2}{3}\). Hỏi điểm \(K\) có thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) không?

a)

+) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\)

Ta có

\(S\) là một điểm chung của hai mặt phẳng.

\(O\) là một điểm chung của hai mặt phẳng.

Suy ra giao của hai mặt phẳng là \(SO\).

+) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAD)\)và \((SBC)\)

\(S\) là một điểm chung của hai mặt phẳng .

Lại có hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song là \(AD\) và \(BC\).

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng \(d\) qua \(S\) và song song với \(AD\), \(BC\).

b) Ta có  

 \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{MN{\rm{//}}AC}\\{MN \not\subset \left( {ABCD} \right)}\\{AC \subset \left( {ABCD} \right)}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow MN{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\).(1)

Ta có  

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{NP{\rm{//}}CD}\\{NP \not\subset \left( {ABCD} \right)}\\{CD \subset \left( {ABCD} \right)}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow NP{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\).(2)

Từ (1) và (2), ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{MN{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)}\\{NP{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)}\\{MN \cap NP = N}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \left( {MNPQ} \right){\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\).

c)

Vẽ \(EF\) song song với \(OP\), \(F\) thuộc cạnh \(SD\)

Vẽ \(FG\) song song với \(AP\), \(G\) thuộc cạnh \(SA\).

Suy ra, mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng \((EFG)\).

Ta có \(E\) là trọng tâm tam giác ABC. Suy ra tỉ số \(\frac{{SG}}{{SA}} = \frac{2}{3}\), lại có \(\frac{{SK}}{{SA}} = \frac{2}{3}\).

Vậy điểm \(K\) trùng với điểm \(G\) nên điểm \(K\) thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).