Tập giá trị của hàm số \(y = \frac{{\sin 3x - 2\cos 3x + 10}}{{6\cos x\cos 2x - 4{{\cos }^3}x + 3}}\) có bao nhiêu số nguyên?

 

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Biến đổi lượng giác đưa về dạng phương trình \(a\sin 3x + b\cos 3x = c\)

Sử dụng điều kiện có nghiệm để tìm tập giá trị của \(y\).

Lời giải

Ta có:

\(y = \frac{{\sin 3x - 2\cos 3x + 10}}{{6\cos x\cos 2x - 4{{\cos }^3}x + 3}}\)

\( = \frac{{\sin 3x - 2\cos 3x + 10}}{{3(\cos 3x + \cos x) - (\cos 3x + 3\cos x) + 3}}\)

\( = \frac{{\sin 3x - 2\cos 3x + 10}}{{2\cos 3x + 3}}\)

\( \Leftrightarrow (2\cos 3x + 3)y = \sin 3x - 2\cos 3x + 10\)

\( \Leftrightarrow (2y + 2)\cos 3x - \sin 3x = 10 - 3y\)

Điều kiện có nghiệm của phương trình là:

\({(2y + 2)^2} + {( - 1)^2} \ge {(10 - 3y)^2}\)

\( \Leftrightarrow 4{y^2} + 8y + 4 + 1 \ge 100 - 60y + 9{y^2}\)

\( \Leftrightarrow 5{y^2} - 68y + 95 \le 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{34 - \sqrt {681} }}{5} \le y \le \frac{{34 + \sqrt {681} }}{5}.\)

Mà \(y \in \mathbb{Z}\) nên \(y = \{ 2;3;4; \ldots ;12\} \).

Vậy tập giá trị của \(y\) có 11 số nguyên.