Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình chữ nhật, \[AB = 1,{\rm{ }}AD = \sqrt {10} ,{\rm{ }}SA = SB,{\rm{ }}SC = SD\]Biết rằng mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\] vuông góc với nhau đồng thời tổng diện tích của hai tam giác \[\Delta SAB\] và \[\Delta SCD\] bằng 2. Tính thể tích khối chóp \[S.ABCD\].

Vì \[\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\AB \subset \left( {SAB} \right)\\CD \subset \left( {SCD} \right)\\AB//CD\end{array} \right.\] nên giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\] là đường thẳng \[d\] đi qua \[S\] và song song với \[AB,{\rm{ }}CD\].

Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB,{\rm{ }}CD\].

Vì \[SA = SB,{\rm{ }}SC = SD\] nên \[SM \bot AB,{\rm{ }}SN \bot CD \Rightarrow SM \bot d,{\rm{ }}SN \bot d \Rightarrow d \bot \left( {SMN} \right)\].

Mà mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\] vuông góc với nhau nên \[SM \bot SN\]. Kẻ \[SH \bot MN{\rm{ }}\left( 1 \right)\].

Vì \[d \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow d \bot SH \Rightarrow SH \bot AB{\rm{ }}\left( 2 \right)\].

Từ (1), (2) suy ra \[SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.SH.AB.AD\].

Đặt \[SM = x,{\rm{ }}SN = y \Rightarrow SH = \frac{{xy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}\]. Ta có \[S{M^2} + S{N^2} = M{N^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 10\].

Mặt khác \[{S_{SAB}} + {S_{SCD}} = 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}.x.1 + \frac{1}{2}.y.1 = 2 \Leftrightarrow x + y = 4\].

Suy ra \[xy = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} - \left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{2} = 3\] \[ \Rightarrow SH = \frac{{xy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }} \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = 1\].

Vậy thể tích khối chóp \[S.ABCD\] bằng 1.