Cho các đồ thị hàm số \(y = {a^x},\,y = {\log _b}x,\,y = {x^c}\) ở hình vẽ sau đây.

Khẳng định nào sau đây đúng?

Đặt $BC=x\Rightarrow S_{△A^{\text{'}}BC}=x^2\frac{\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}\iff x=2$.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) suy ra \(BC \bot A'M\) (Do tam giác đều). Khi đó ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot A'M\\BC \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AM\].

Vậy \[\left( {\left( {A'BC} \right)\,;\,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {A'M\,;\,AM} \right) = \widehat {A'MA} = {30^{\rm{o}}} \Rightarrow AA' = A'M.\sin 30^\circ  = \sqrt 3 .\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].

Áp dụng công thức: $S^{\text{'}}=S.\cos \phi \Rightarrow S_{△ABC}=S_{△A^{\text{'}}BC}.\cos {30}^o=\frac{3}{2}$.

Suy ra thể tích của lăng trụ là: $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=A{A}^{\text{'}}.S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

a) Sai: Độ dài cạnh \(BC\) bằng \(2\).

b) Đúng: Hai đường thẳng \(BC\) và\(AM\) vuông góc với nhau.

c) Sai: Góc tạo bởi hai mặt phẳng \[\left( {A'BC} \right)\] và \[\left( {ABC} \right)\] bằng \({30^0}\)

d) Đúng: Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng \(\frac{{3\sqrt 3 }}{4}\).

Vì \[\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\AB \subset \left( {SAB} \right)\\CD \subset \left( {SCD} \right)\\AB//CD\end{array} \right.\] nên giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\] là đường thẳng \[d\] đi qua \[S\] và song song với \[AB,{\rm{ }}CD\].

Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB,{\rm{ }}CD\].

Vì \[SA = SB,{\rm{ }}SC = SD\] nên \[SM \bot AB,{\rm{ }}SN \bot CD \Rightarrow SM \bot d,{\rm{ }}SN \bot d \Rightarrow d \bot \left( {SMN} \right)\].

Mà mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\] vuông góc với nhau nên \[SM \bot SN\]. Kẻ \[SH \bot MN{\rm{ }}\left( 1 \right)\].

Vì \[d \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow d \bot SH \Rightarrow SH \bot AB{\rm{ }}\left( 2 \right)\].

Từ (1), (2) suy ra \[SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.SH.AB.AD\].

Đặt \[SM = x,{\rm{ }}SN = y \Rightarrow SH = \frac{{xy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}\]. Ta có \[S{M^2} + S{N^2} = M{N^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 10\].

Mặt khác \[{S_{SAB}} + {S_{SCD}} = 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}.x.1 + \frac{1}{2}.y.1 = 2 \Leftrightarrow x + y = 4\].

Suy ra \[xy = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} - \left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{2} = 3\] \[ \Rightarrow SH = \frac{{xy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }} \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = 1\].

Vậy thể tích khối chóp \[S.ABCD\] bằng 1.