Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(2a\) và chiều cao bằng \(a\). Tính số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\)?

Chọn B

Ta thấy đồ thị \(y = {x^c}\)đi xuống nên \(c < 0\), đồ thị \(y = {a^x}\)đi xuống nên \(0 < a < 1\), đồ thị \(y = {\log _b}x\) đi lên nên \(b > 1.\)

Đặt $BC=x\Rightarrow S_{△A^{\text{'}}BC}=x^2\frac{\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}\iff x=2$.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) suy ra \(BC \bot A'M\) (Do tam giác đều). Khi đó ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot A'M\\BC \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AM\].

Vậy \[\left( {\left( {A'BC} \right)\,;\,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {A'M\,;\,AM} \right) = \widehat {A'MA} = {30^{\rm{o}}} \Rightarrow AA' = A'M.\sin 30^\circ  = \sqrt 3 .\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].

Áp dụng công thức: $S^{\text{'}}=S.\cos \phi \Rightarrow S_{△ABC}=S_{△A^{\text{'}}BC}.\cos {30}^o=\frac{3}{2}$.

Suy ra thể tích của lăng trụ là: $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=A{A}^{\text{'}}.S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

a) Sai: Độ dài cạnh \(BC\) bằng \(2\).

b) Đúng: Hai đường thẳng \(BC\) và\(AM\) vuông góc với nhau.

c) Sai: Góc tạo bởi hai mặt phẳng \[\left( {A'BC} \right)\] và \[\left( {ABC} \right)\] bằng \({30^0}\)

d) Đúng: Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng \(\frac{{3\sqrt 3 }}{4}\).