Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(2a\) và chiều cao bằng \(a\). Tính số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\)?

Gọi \[G\]là trọng tâm của \(\Delta ABC\). Vì hình chóp \[S.ABC\] đều nên \(SG \bot \left( {ABC} \right)\).

Ta có: \[GM\] là hình chiếu của \[SM\] trên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] nên \(SM \bot BC\).

Lại có:\[\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SM \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right)\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SMA} = \widehat {SMG}\].

Xét \[\Delta ABC\]đều có \[AM\] là đường trung tuyến, \[G\] là trọng tâm nên \[GM = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]

Tam giác \[SMB\] vuông tại \[M\] nên:

\[S{M^2} = S{B^2} - B{M^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt {21} }}{6}} \right)^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{3} \Rightarrow SM = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\].

Tam giác \[SGM\] vuông tại G nên: \[\cos \widehat {SMG} = \frac{{GM}}{{SM}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\frac{{\sqrt 3 }}{a} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {SMG} = {60^ \circ }\].

a) Đúng: Đường thẳng \(SG\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

b) Đúng: Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc \[\widehat {SMA}\].

c) Sai: Đoạn thẳng \(SM\) có độ dài bằng \(\frac{a}{{\sqrt 3 }}\)

d) Đúng: Giá trị góc \(\alpha \) giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] và \[\left( {ABC} \right)\] bằng \({60^0}\).

a) Đúng: Hàm số \(y = {\log _{\frac{{2024}}{{2023}}}}x\) có tập giá trị là \(\mathbb{R}\).

b) Sai: Vì cơ số \(\frac{{2023}}{{2024}} \in \left( {0\,;\,1} \right)\) nên hàm số \(y = {\left( {\frac{{2023}}{{2024}}} \right)^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

c) Đúng: Hàm số \(y = {\log _{\frac{{2024}}{{2023}}}}x\) có tập xác định là \(\left( {0\,;\, + \infty } \right)\) nên có đồ thị nằm bên phải trục tung.

d) Sai: Vì \({\left( {\frac{{2023}}{{2024}}} \right)^x} > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\) nên đồ thị hàm số \(y = {\left( {\frac{{2023}}{{2024}}} \right)^x}\) không cắt trục tung.