Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \((ABC)\) là \(30^\circ \). Tam giác \(A'BC\) đều và có diện tích bằng \(\sqrt 3 \).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(B'C'\), do các tam giác \(\Delta A'B'C',\,\,\Delta AB'C'\) lần lượt cân đỉnh \(A'\) và \(A\) nên \(AH \bot B'C'\), \(A'H' \bot B'C'\)

Suy ra: \(\widehat {\left( {\left( {AB'C'} \right),\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {\left( {AB'C'} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AH,A'H} \right)} = \widehat {AHA'}\)

Xét tam giác:\[AHA'\] có \(\widehat {A'} = {90^0},A'H = a\sqrt 3 \) và \(\tan \widehat {AHA'} = \frac{{AA'}}{{A'H}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) \( \Rightarrow \widehat {AHA'} = {30^0}\).

Vậy số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({30^0}\).

a) Đúng: Hàm số \(y = {\log _{\frac{{2024}}{{2023}}}}x\) có tập giá trị là \(\mathbb{R}\).

b) Sai: Vì cơ số \(\frac{{2023}}{{2024}} \in \left( {0\,;\,1} \right)\) nên hàm số \(y = {\left( {\frac{{2023}}{{2024}}} \right)^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

c) Đúng: Hàm số \(y = {\log _{\frac{{2024}}{{2023}}}}x\) có tập xác định là \(\left( {0\,;\, + \infty } \right)\) nên có đồ thị nằm bên phải trục tung.

d) Sai: Vì \({\left( {\frac{{2023}}{{2024}}} \right)^x} > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\) nên đồ thị hàm số \(y = {\left( {\frac{{2023}}{{2024}}} \right)^x}\) không cắt trục tung.