Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \((ABC)\) là \(30^\circ \). Tam giác \(A'BC\) đều và có diện tích bằng \(\sqrt 3 \).

Đặt $BC=x\Rightarrow S_{△A^{\text{'}}BC}=x^2\frac{\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}\iff x=2$.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) suy ra \(BC \bot A'M\) (Do tam giác đều). Khi đó ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot A'M\\BC \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AM\].

Vậy \[\left( {\left( {A'BC} \right)\,;\,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {A'M\,;\,AM} \right) = \widehat {A'MA} = {30^{\rm{o}}} \Rightarrow AA' = A'M.\sin 30^\circ  = \sqrt 3 .\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].

Áp dụng công thức: $S^{\text{'}}=S.\cos \phi \Rightarrow S_{△ABC}=S_{△A^{\text{'}}BC}.\cos {30}^o=\frac{3}{2}$.

Suy ra thể tích của lăng trụ là: $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=A{A}^{\text{'}}.S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

a) Sai: Độ dài cạnh \(BC\) bằng \(2\).

b) Đúng: Hai đường thẳng \(BC\) và\(AM\) vuông góc với nhau.

c) Sai: Góc tạo bởi hai mặt phẳng \[\left( {A'BC} \right)\] và \[\left( {ABC} \right)\] bằng \({30^0}\)

d) Đúng: Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng \(\frac{{3\sqrt 3 }}{4}\).