Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \((ABC)\) là \(30^\circ \). Tam giác \(A'BC\) đều và có diện tích bằng \(\sqrt 3 \).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(B'C'\), do các tam giác \(\Delta A'B'C',\,\,\Delta AB'C'\) lần lượt cân đỉnh \(A'\) và \(A\) nên \(AH \bot B'C'\), \(A'H' \bot B'C'\)

Suy ra: \(\widehat {\left( {\left( {AB'C'} \right),\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {\left( {AB'C'} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AH,A'H} \right)} = \widehat {AHA'}\)

Xét tam giác:\[AHA'\] có \(\widehat {A'} = {90^0},A'H = a\sqrt 3 \) và \(\tan \widehat {AHA'} = \frac{{AA'}}{{A'H}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) \( \Rightarrow \widehat {AHA'} = {30^0}\).

Vậy số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({30^0}\).

Gọi \[G\]là trọng tâm của \(\Delta ABC\). Vì hình chóp \[S.ABC\] đều nên \(SG \bot \left( {ABC} \right)\).

Ta có: \[GM\] là hình chiếu của \[SM\] trên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] nên \(SM \bot BC\).

Lại có:\[\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SM \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right)\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SMA} = \widehat {SMG}\].

Xét \[\Delta ABC\]đều có \[AM\] là đường trung tuyến, \[G\] là trọng tâm nên \[GM = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]

Tam giác \[SMB\] vuông tại \[M\] nên:

\[S{M^2} = S{B^2} - B{M^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt {21} }}{6}} \right)^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{3} \Rightarrow SM = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\].

Tam giác \[SGM\] vuông tại G nên: \[\cos \widehat {SMG} = \frac{{GM}}{{SM}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\frac{{\sqrt 3 }}{a} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {SMG} = {60^ \circ }\].

a) Đúng: Đường thẳng \(SG\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

b) Đúng: Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc \[\widehat {SMA}\].

c) Sai: Đoạn thẳng \(SM\) có độ dài bằng \(\frac{a}{{\sqrt 3 }}\)

d) Đúng: Giá trị góc \(\alpha \) giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] và \[\left( {ABC} \right)\] bằng \({60^0}\).