Cho tứ diện \(S.ABC\) trong đó \(SA,SB,SC\) vuông góc với nhau từng đôi một và \(SA = 3a,SB = a,SC = 2a\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(BC\).

Trả lời: \(d(A,BC) = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}a\)

Lời giải

Kẻ \(AH \bot BC\) tại \(H \Rightarrow d(A,BC) = AH\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot SA}\\{BC \bot AH}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAH) \Rightarrow BC \bot SH} \right.\)

Ta có: \(SH = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{S{C^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}}} }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{{(2a)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}a\)

Ta có: \(AH = \sqrt {S{A^2} + S{H^2}}  = \sqrt {{{(3a)}^2} + {{\left( {\frac{{2\sqrt 5 }}{5}a} \right)}^2}}  = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}a\)

Vậy \(d(A,BC) = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}a\).